問題は、例6において、ド・モルガンの法則 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ および $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことを確認することです。例6では、全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 4, 6, 8\}$、部分集合 $B = \{3, 6, 9\}$ が与えられています。

1. 問題の内容

問題は、例6において、ド・モルガンの法則 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ および $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことを確認することです。例6では、全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 4, 6, 8\}$、部分集合 $B = \{3, 6, 9\}$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求めます。

$\overline{A}$ は $U$ に含まれるが $A$ に含まれない要素の集合なので、

$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{B}$ は $U$ に含まれるが $B$ に含まれない要素の集合なので、

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}$

次に、$A \cup B$ と $A \cap B$ を求めます。

$A \cup B = \{2, 4, 6, 8\} \cup \{3, 6, 9\} = \{2, 3, 4, 6, 8, 9\}$

$A \cap B = \{2, 4, 6, 8\} \cap \{3, 6, 9\} = \{6\}$

次に、$\overline{A \cup B}$ と $\overline{A \cap B}$ を求めます。

$\overline{A \cup B}$ は $U$ に含まれるが $A \cup B$ に含まれない要素の集合なので、

$\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7\}$

$\overline{A \cap B}$ は $U$ に含まれるが $A \cap B$ に含まれない要素の集合なので、

$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$

次に、$\overline{A} \cap \overline{B}$ と $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求めます。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 5, 7\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$

最後に、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ および $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことを確認します。

$\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7\}$ であり、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$ なので、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ が成り立ちます。

$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$ であり、$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$ なので、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ および $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つ。