三角形ABCにおいて、A, B, Cから対辺に下ろした垂線の足をそれぞれD, E, Fとする。三角形ABCの重心をHとする。$AF = 1$, $FB = 2$, $AE = \frac{3\sqrt{5}}{5}$, $AH = \sqrt{2}$のとき、$AD$, $BD$, $DC$, $EC$の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、A, B, Cから対辺に下ろした垂線の足をそれぞれD, E, Fとする。三角形ABCの重心をHとする。$AF = 1$, $FB = 2$, $AE = \frac{3\sqrt{5}}{5}$, $AH = \sqrt{2}$のとき、$AD$, $BD$, $DC$, $EC$の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$AB$と$AC$の長さを計算します。

$AB = AF + FB = 1 + 2 = 3$

三角形AEHを考えます。Hは重心なので、中線AEを2:1に内分します。つまり$AH:HE = 2:1$です。

$AH = \sqrt{2}$なので、$AE = \frac{3\sqrt{5}}{5}$より、

$AE = \frac{3}{2}AH$になるはずですが、与えられた条件ではそうではありません。

しかし、重心Hから頂点Aまでの距離が与えられているので、中線定理を利用して$AC$の長さを求めます。

中線定理は、三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとすると、$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$で与えられます。

この問題の場合、BEは中線ではありません。

AHは重心から頂点までの距離なので、中線ADを2:1に内分します。つまり$AH:HD = 2:1$です。$AH = \sqrt{2}$なので、$AD = AH + HD = AH + \frac{1}{2}AH = \frac{3}{2}AH = \frac{3\sqrt{2}}{2}$です。

直角三角形ADBにおいて、$AD^2 + BD^2 = AB^2$が成り立ちます。

$(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 + BD^2 = 3^2$

$\frac{18}{4} + BD^2 = 9$

$BD^2 = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$

$BD = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

直角三角形ADCにおいて、$AD^2 + DC^2 = AC^2$が成り立ちます。

$EC = AC - AE$より、ECを求めるためにはACを求めなければなりません。

まず、三平方の定理より$BE^2 = AB^2 - AE^2 = 3^2 - (\frac{3\sqrt{5}}{5})^2 = 9 - \frac{45}{25} = 9 - \frac{9}{5} = \frac{36}{5}$

$BE = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$

次に、AH = $\sqrt{2}$であることと、三角形AFHが直角三角形であることを利用して、AF = 1であることから、FHの長さを求めます。

$AF^2 + FH^2 = AH^2$より、$1 + FH^2 = 2$なので、$FH^2 = 1$となり、$FH = 1$です。

また、$FC^2 = AC^2 - AF^2$です。

ここでは面積を使った別の方法を考えます。

$S = \frac{1}{2}AD \cdot BC = \frac{1}{2}BE \cdot AC = \frac{1}{2}CF \cdot AB$

まず，$AC = \frac{5AE}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}AE = \sqrt{5} \cdot \frac{3\sqrt{5}}{5} = 3$

したがって、$EC = AC - AE = \sqrt{5} - \frac{3\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$AD = \frac{3\sqrt{2}}{2}$なので、$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{5 - \frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$AD = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$BD = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$DC = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$EC = \frac{2\sqrt{5}}{5}$