正六角形について、以下の数を求める問題です。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数 (4) 対角線の本数

1. 問題の内容

正六角形について、以下の数を求める問題です。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

(4) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 三角形の個数：

正六角形の6個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの公式 $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で計算できます。ここで、$n=6$、$r=3$ です。

$6C3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) 四角形の個数：

正六角形の6個の頂点から4個を選ぶ組み合わせの数を求めます。ここで、$n=6$、$r=4$ です。

$6C4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(3) 線分の本数：

正六角形の6個の頂点から2個を選ぶ組み合わせの数を求めます。ここで、$n=6$、$r=2$ です。

$6C2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(4) 対角線の本数：

正六角形の頂点の数は6です。対角線の数は、線分の総数から辺の数を引くことで求められます。線分の総数は上記(3)で求めた15本です。正六角形の辺の数は6なので、対角線の本数は $15 - 6 = 9$ 本です。

3. 最終的な答え

(1) 三角形の個数：20個

(2) 四角形の個数：15個

(3) 線分の本数：15本

(4) 対角線の本数：9本