線分ABを5:3に外分する点Cについて、ベクトル$\overrightarrow{OC}$をベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表す問題です。

## 【1】の問題

1. 問題の内容

線分ABを5:3に外分する点Cについて、ベクトル$\overrightarrow{OC}$をベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

ABを5:3に外分する点Cなので、$\overrightarrow{AC} = \frac{5}{5-3} \overrightarrow{AB} = \frac{5}{2} \overrightarrow{AB}$が成り立ちます。

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} + \frac{5}{2} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} + \frac{5}{2} (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{OA} + \frac{5}{2} \overrightarrow{OB} - \frac{5}{2} \overrightarrow{OA} = -\frac{3}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{5}{2} \overrightarrow{OB}$

したがって、

$\overrightarrow{OC} = -\frac{3}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{5}{2} \overrightarrow{OB}$

これを問題の形式に当てはめると、

$\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{3}{4} \overrightarrow{OC}$より、$\frac{3}{4} \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} - \frac{1}{2} \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OC} = \frac{4}{3} (\overrightarrow{OB} - \frac{1}{2} \overrightarrow{OA}) = -\frac{2}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{4}{3} \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OC} = \frac{5}{7} \overrightarrow{OA} + \frac{8}{9} \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{3}{4} \overrightarrow{OC}$ (1)

$-\frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \frac{3}{4} \overrightarrow{OC}$ (2)

$\overrightarrow{OC} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{4}{3} \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OC} = \frac{5}{7} \overrightarrow{OA} + \frac{8}{9} \overrightarrow{OB}$

3. 最終的な答え

1: 2

2: -2

3: 3

4: 4

5: -2

6: 3

7: 3

8: 4

9: 3

## 【2】の問題

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、CDの中点をM、BFとAMの交点をNとする。$\overrightarrow{AN}$を$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AF}$で表す問題です。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{BC})$

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC})$

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + 3(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF})) = \frac{1}{2} (4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AF})$

$\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2} \overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{AN} = k \overrightarrow{AM}$とおくと

$\overrightarrow{AN} = 2k \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2} k \overrightarrow{AF}$

また、$\overrightarrow{AN}$は直線BF上にあるので、

$\overrightarrow{AN} = (1-t) \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AF}$

$2k = 1-t$

$\frac{3}{2} k = t$

$2k = 1-\frac{3}{2}k$

$\frac{7}{2} k = 1$

$k = \frac{2}{7}$

$\overrightarrow{AN} = \frac{4}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{7} \overrightarrow{AF}$

パラメータの和は$\frac{4}{7} + \frac{3}{7} = 1$

$\overrightarrow{AM} = \frac{10}{11} \overrightarrow{AC} + \frac{10}{11} \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AM} = \frac{10}{11} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \frac{10}{11} 2\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AM} = \frac{10}{11} \overrightarrow{AB} + \frac{30}{11} \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AM} = \frac{10}{11} \overrightarrow{AB} + \frac{30}{11} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF})$

$\overrightarrow{AM} = \frac{40}{11} \overrightarrow{AB} + \frac{30}{11} \overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} (\frac{10}{11}) (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$

したがって、

10: 1

11: 2

12: 3

13: 2

14: 4

15: 3

16: 2

17: 7

18: 1

19: 4

20: 7

21: 3

3. 最終的な答え

10: 1

11: 2

12: 3

13: 2

14: 4

15: 3

16: 2

17: 7

18: 1

19: 4

20: 7

21: 3