半径が $a$ で高さも $a$ である直円柱がある。この円柱を、底面の直径ABを含み、底面と45度の傾きをなす平面で2つの立体に分けるとき、小さい方の立体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

半径が $a$ で高さも $a$ である直円柱がある。この円柱を、底面の直径ABを含み、底面と45度の傾きをなす平面で2つの立体に分けるとき、小さい方の立体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

小さい方の立体の体積 $V$ を求める。底面を $x$ 軸、円の中心を原点とする座標を設定する。

$x$ 座標が $x$ の位置での高さを $h(x)$ とすると、与えられた条件より、$h(x) = a - x$ となる。

立体の体積は、底面を $-a$ から $a$ まで積分することで求めることができる。底面上の微小領域を $dx$ とすると、その面積は $h(x) dx$ であり、体積はこれを積分したものとなる。

立体の体積 $V$ は、

$V = \int_{-a}^{a} \frac{1}{2} (a - x) \sqrt{a^2 - x^2} dx$

ここで、$\int_{-a}^{a} x \sqrt{a^2 - x^2} dx = 0$ (奇関数の積分) を利用する。

$V = \frac{1}{2} \int_{-a}^{a} a \sqrt{a^2 - x^2} dx - \frac{1}{2} \int_{-a}^{a} x \sqrt{a^2 - x^2} dx$

$V = \frac{a}{2} \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx$

$\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx$ は半径 $a$ の半円の面積を表すため、

$\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2} \pi a^2$

よって、$V$ は

$V = \frac{a}{2} \times \frac{1}{2} \pi a^2$

$V = \frac{\pi a^3}{4}$

3. 最終的な答え

$V = \frac{\pi a^3}{4}$