三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $AC = 7$, $\cos \angle BAC = \frac{1}{7}$とする。 (1) 辺BCの長さを求める。 (2) 平面ABC上にない点Dをとり、四面体ABCDをつくる。$\sin \angle ADC = \frac{\sqrt{21}}{7}$, $\cos \angle CAD = -\frac{1}{7}$のとき、辺CDおよび辺ADの長さを求める。 (3) (2)において、$BC = BD$であるとき、四面体ABCDの体積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $AC = 7$, $\cos \angle BAC = \frac{1}{7}$とする。

(1) 辺BCの長さを求める。

(2) 平面ABC上にない点Dをとり、四面体ABCDをつくる。$\sin \angle ADC = \frac{\sqrt{21}}{7}$, $\cos \angle CAD = -\frac{1}{7}$のとき、辺CDおよび辺ADの長さを求める。

(3) (2)において、$BC = BD$であるとき、四面体ABCDの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いてBCの長さを求める。

$\qquad BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$\qquad BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{7}$

$\qquad BC^2 = 25 + 49 - 10 = 64$

$\qquad BC = \sqrt{64} = 8$

(2) まず$\sin \angle CAD$を計算する。$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より

$\qquad \sin^2 \angle CAD = 1 - \cos^2 \angle CAD = 1 - (-\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

$\qquad \sin \angle CAD = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

余弦定理を用いてCDを求める。

$\qquad CD^2 = AD^2 + AC^2 - 2 \cdot AD \cdot AC \cdot \cos \angle CAD$

$\qquad CD^2 = AD^2 + 7^2 - 2 \cdot AD \cdot 7 \cdot (-\frac{1}{7})$

$\qquad CD^2 = AD^2 + 49 + 2AD$

$\angle ADC$に対して余弦定理を用いる。

$\qquad AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC$

ここで、$\cos \angle ADC$を求める。$\sin^2 \angle ADC + \cos^2 \angle ADC = 1$より

$\qquad \cos^2 \angle ADC = 1 - \sin^2 \angle ADC = 1 - (\frac{\sqrt{21}}{7})^2 = 1 - \frac{21}{49} = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$

$\qquad \cos \angle ADC = \pm \sqrt{\frac{4}{7}} = \pm \frac{2}{\sqrt{7}} = \pm \frac{2\sqrt{7}}{7}$

$\qquad AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot (\pm \frac{2\sqrt{7}}{7})$

$\qquad 49 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot (\pm \frac{2\sqrt{7}}{7})$

$\qquad 49 = AD^2 + AD^2 + 49 + 2AD - 2 \cdot AD \cdot \sqrt{AD^2 + 49 + 2AD} \cdot (\pm \frac{2\sqrt{7}}{7})$

$\qquad 0 = 2AD^2 + 2AD - 2 \cdot AD \cdot \sqrt{AD^2 + 49 + 2AD} \cdot (\pm \frac{2\sqrt{7}}{7})$

$\qquad 2AD(AD+1) = 2AD \cdot \sqrt{AD^2 + 49 + 2AD} \cdot (\pm \frac{2\sqrt{7}}{7})$

$AD \neq 0$なので割ることが出来る。

$\qquad (AD+1) = \sqrt{AD^2 + 49 + 2AD} \cdot (\pm \frac{2\sqrt{7}}{7})$

$\qquad (AD+1)^2 = (AD^2 + 49 + 2AD) \cdot (\frac{4 \cdot 7}{49})$

$\qquad AD^2+2AD+1 = (AD^2 + 2AD + 49) \cdot \frac{4}{7}$

$\qquad 7(AD^2+2AD+1) = 4(AD^2 + 2AD + 49)$

$\qquad 7AD^2+14AD+7 = 4AD^2 + 8AD + 196$

$\qquad 3AD^2+6AD - 189 = 0$

$\qquad AD^2+2AD - 63 = 0$

$\qquad (AD+9)(AD-7) = 0$

$AD > 0$より、$AD = 7$。

$\qquad CD^2 = 7^2 + 49 + 2\cdot 7 = 49+49+14 = 112$

$\qquad CD = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $BC = 8$

(2) $CD = 4\sqrt{7}$, $AD = 7$