一辺の長さが2である正四面体ABCDに内接する球の中心をOとするとき、四面体OBCDの体積、球の半径、球の表面積、球の体積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが2である正四面体ABCDに内接する球の中心をOとするとき、四面体OBCDの体積、球の半径、球の表面積、球の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正四面体ABCDの体積を求めます。

正四面体の体積$V$は、一辺の長さを$a$とすると、$V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$で表されます。

したがって、正四面体ABCDの体積は、

$V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 2^3 = \frac{8\sqrt{2}}{12} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ となります。

次に、正四面体ABCDに内接する球の半径を$r$とします。

四面体ABCDの体積は、4つの四面体OBCD, OACD, OABD, OABCの体積の和に等しくなります。

それぞれの四面体の体積は、$\frac{1}{3} \times$（底面積）$\times$（高さ）で計算できます。

四面体OBCD, OACD, OABD, OABCの底面積はすべて正三角形であり、一辺の長さは2です。

正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ で計算できます。

したがって、底面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}$となります。

それぞれの四面体の高さは$r$（球の半径）です。

よって、

$\frac{2\sqrt{2}}{3} = 4 \times (\frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times r)$

$\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} r$

$r = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

四面体OBCDの体積は、四面体ABCDの体積の1/4なので、

$\frac{1}{4} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

球の表面積$S$は$S=4\pi r^2$で表されます。

$S = 4\pi (\frac{\sqrt{6}}{6})^2 = 4\pi \times \frac{6}{36} = \frac{2\pi}{3}$

球の体積$V_s$は$V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$で表されます。

$V_s = \frac{4}{3} \pi (\frac{\sqrt{6}}{6})^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{6\sqrt{6}}{216} = \frac{4}{3} \pi \frac{\sqrt{6}}{36} = \frac{\sqrt{6}}{27} \pi$

3. 最終的な答え

四面体 OBCD の体積: $\frac{\sqrt{2}}{6}$

球の半径: $\frac{\sqrt{6}}{6}$

球の表面積: $\frac{2}{3}\pi$

球の体積: $\frac{\sqrt{6}}{27}\pi$