図において、$PQ // BC$のとき、$x$の値を求める。$AP = 8, PB = x, AQ = 6, QC = 3$。

はい、承知いたしました。画像に含まれる数学の問題をいくつか解いていきましょう。

**問題15**

1. 問題の内容

図において、$PQ // BC$のとき、$x$の値を求める。$AP = 8, PB = x, AQ = 6, QC = 3$。

2. 解き方の手順

$PQ // BC$なので、三角形$APQ$と三角形$ABC$は相似である。

したがって、$AP : AB = AQ : AC$という比例式が成り立つ。

$AB = AP + PB = 8 + x$、$AC = AQ + QC = 6 + 3 = 9$であるから、

$8 : (8+x) = 6 : 9$

これを解くと、

$8 \times 9 = 6 \times (8+x)$

$72 = 48 + 6x$

$6x = 72 - 48 = 24$

$x = 24 / 6 = 4$

3. 最終的な答え

$x = 4$

**問題16**

1. 問題の内容

三角形$ABC$において、$AD$は角$A$の二等分線である。$BD = x$の値を求める。$AB=10, AC=8, DC=4$

2. 解き方の手順

角の二等分線の定理より、$AB : AC = BD : DC$が成り立つ。

よって、$10 : 8 = x : 4$

これを解くと、

$10 \times 4 = 8 \times x$

$40 = 8x$

$x = 40 / 8 = 5$

3. 最終的な答え

$x = 5$

**問題17**

1. 問題の内容

点$O$は三角形$ABC$の外心である。角$x$の値を求める。$∠OBC = 28^{\circ}, ∠OCB = 40^{\circ}$

2. 解き方の手順

点$O$は外心なので、$OA = OB = OC$。したがって、三角形$OBC$は二等辺三角形であり、$∠OBC = ∠OCB = 40^{\circ}$。

$∠BOC$は、$180^{\circ} - 40^{\circ} - 40^{\circ} = 100^{\circ}$。

外角の中心角は、内角の2倍なので、$∠BAC = ∠x = \frac{1}{2}∠BOC$

よって、$∠BAC = \frac{1}{2} \times 100 = 50^{\circ}$

3. 最終的な答え

$x = 50$

**問題19**

1. 問題の内容

図において、$BP: PC$を求める。$AQ = 2, QC = 3, AR = 4, RB = 2$

2. 解き方の手順

メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{4}{2} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{3}{2} = 1$

$\frac{12}{4} \times \frac{BP}{PC} = 1$

$3 \times \frac{BP}{PC} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$BP: PC = 1:3$

**問題20**

1. 問題の内容

円の中心が$O$であるとき、$x$を求める。円周角が$120^{\circ}$

2. 解き方の手順

$∠AOB$の中心角は$120^{\circ}$であるから、$x = \frac{120^{\circ}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 60$

**問題21**

1. 問題の内容

四角形$ABCD$は円に内接している。$x$と$y$を求める。

2. 解き方の手順

円に内接する四角形の対角の和は$180^{\circ}$であるから、$y = 180 - 75 = 105^{\circ}$。

また、$x$は$y$と対角にある角なので、$x+105 = 180$

3. 最終的な答え

$y=105, x=75$

**問題23**

1. 問題の内容

12の正の約数と3の正の倍数(小さい方から5個)を求める

2. 解き方の手順

12の正の約数は、1, 2, 3, 4, 6, 12

3の正の倍数は、3, 6, 9, 12, 15

3. 最終的な答え

12の正の約数：1, 2, 3, 4, 6, 12

3の正の倍数(小さい方から5個)：3, 6, 9, 12, 15

**問題24**

1. 問題の内容

24を素因数分解する。

2. 解き方の手順

24 = 2 * 12 = 2 * 2 * 6 = 2 * 2 * 2 * 3

3. 最終的な答え

24 = 2 * 2 * 2 * 3 = $2^3 \times 3$

**問題25**

1. 問題の内容

整数20, 36について、最大公約数を求める。

2. 解き方の手順

20 = 2 * 2 * 5

36 = 2 * 2 * 3 * 3

最大公約数は2 * 2 = 4

3. 最終的な答え

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