一辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点をMとする。 AM, BMの長さ、cos∠ABM、頂点Aから三角形BCDに下ろした垂線AHの長さ、三角形ABMの面積を求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点をMとする。

AM, BMの長さ、cos∠ABM、頂点Aから三角形BCDに下ろした垂線AHの長さ、三角形ABMの面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、AMとBMの長さを求める。

三角形AMCは直角三角形なので、三平方の定理より、

$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

同様に、BMの長さも$3\sqrt{3}$となる。

したがって、

$AM = BM = 3\sqrt{3}$

次に、cos∠ABMを求める。

三角形ABMにおいて、余弦定理より、

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2AB \cdot BM \cdot \cos{\angle ABM}$

$27 = 36 + 27 - 2 \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos{\angle ABM}$

$27 = 63 - 36\sqrt{3} \cdot \cos{\angle ABM}$

$36\sqrt{3} \cdot \cos{\angle ABM} = 36$

$\cos{\angle ABM} = \frac{36}{36\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

次に、AHの長さを求める。

正四面体の頂点から底面に下ろした垂線は、底面の正三角形の重心に落ちる。

三角形BCDにおいて、重心Hは中線CMを2:1に内分する点である。

したがって、$HM = \frac{1}{3}CM = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$

三角形AHMは直角三角形なので、三平方の定理より、

$AH = \sqrt{AM^2 - HM^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{27 - 1} = \sqrt{26}$

よって、$AH = \sqrt{26}$

最後に、三角形ABMの面積を求める。

三角形ABMの面積は、

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM \cdot \sin{\angle ABM}$

$\cos{\angle ABM} = \frac{1}{\sqrt{3}}$より、$\sin{\angle ABM} = \sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

したがって、

$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{2}$

よって、三角形ABMの面積は、$9\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

ア：3

イ：3

ウ：3

エ：1

オ：26

カ：9

キ：2