## 回答

## 回答

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1. 問題の内容

9. 半径と中心角が与えられた扇形の弧の長さ $l$ と面積 $S$ を求める。

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0. $\sin \theta$ と $\tan \theta$ の符号が与えられたとき、$\theta$ の動径がどの象限にあるかを求める。

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1. 与えられた三角関数の値を求める。

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2. $\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan \theta$ の値が与えられたとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

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3. $\sin \theta + \cos \theta$ の値が与えられたとき、$\sin \theta \cdot \cos \theta$ の値を求める。

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2. 解き方の手順

**9.**

(1) 扇形の弧の長さ $l$ と面積 $S$ は、半径 $r$ と中心角 $\theta$ (ラジアン) を用いて、それぞれ $l = r \theta$ 、 $S = \frac{1}{2}r^2 \theta$ で計算できます。半径4,中心角 $\frac{\pi}{4}$ なので、

$l = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi$

(2) 半径10,中心角 $\frac{3}{5}\pi$ なので、

$l = 10 \cdot \frac{3}{5}\pi = 6\pi$

$S = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \frac{3}{5}\pi = 30\pi$

**10.**

(1) $\sin \theta < 0$ かつ $\tan \theta < 0$ のとき、$\sin \theta$ が負なので $\theta$ は第3象限または第4象限にあり、$\tan \theta$ が負なので $\theta$ は第2象限または第4象限にあります。したがって、$\theta$ は第4象限にあります。

(2) $\cos \theta < 0$ かつ $\tan \theta > 0$ のとき、$\cos \theta$ が負なので $\theta$ は第2象限または第3象限にあり、$\tan \theta$ が正なので $\theta$ は第1象限または第3象限にあります。したがって、$\theta$ は第3象限にあります。

**11.**

(1) $\sin \frac{5}{6}\pi = \sin (\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

(2) $\cos \frac{5}{4}\pi = \cos (\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\tan \frac{5}{3}\pi = \tan (2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$

(4) $\sin (-\frac{7}{3}\pi) = \sin (-\frac{7}{3}\pi + 2\pi) = \sin (-\frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(5) $\cos (-\frac{13}{6}\pi) = \cos (-\frac{13}{6}\pi + 2\pi \cdot 2) = \cos (-\frac{13}{6}\pi + \frac{24}{6}\pi) = \cos (\frac{11}{6}\pi) = \cos (2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(6) $\tan (-\frac{15}{4}\pi) = \tan (-\frac{15}{4}\pi + 4\pi) = \tan (\frac{1}{4}\pi) = 1$

(7) $\tan \frac{13}{3}\pi = \tan (\frac{13}{3}\pi - 4\pi) = \tan (\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

(8) $\sin \frac{15}{4}\pi = \sin (\frac{15}{4}\pi - 4\pi) = \sin (-\frac{1}{4}\pi) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(9) $\cos \frac{22}{3}\pi = \cos (\frac{22}{3}\pi - 6\pi) = \cos (\frac{4}{3}\pi) = \cos (\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

**12.**

$\theta$ が第3象限にあるので、$\sin \theta < 0$ かつ $\cos \theta < 0$ である。

$\tan \theta = \frac{7}{5}$ なので、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{7}{5}$ となる。

$\sin \theta = -\frac{7}{\sqrt{7^2 + 5^2}}r$ 、 $\cos \theta = -\frac{5}{\sqrt{7^2 + 5^2}}r$ と表せる。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より

$(-\frac{7}{\sqrt{74}})^2 + (-\frac{5}{\sqrt{74}})^2 = \frac{49}{74} + \frac{25}{74} = \frac{74}{74} = 1$ であるので、

$\sin \theta = -\frac{7}{\sqrt{74}}$ 、 $\cos \theta = -\frac{5}{\sqrt{74}}$

$\sin \theta = -\frac{7\sqrt{74}}{74}$ 、 $\cos \theta = -\frac{5\sqrt{74}}{74}$

**13.**

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{5}$ の両辺を2乗すると、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{3}{5})^2$

$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{9}{25}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{9}{25}$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{9}{25} - 1 = -\frac{16}{25}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{8}{25}$

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3. 最終的な答え

**9.**

(1) $l = \pi$ 、 $S = 2\pi$

(2) $l = 6\pi$ 、 $S = 30\pi$

**10.**

(1) 第4象限

(2) 第3象限

**11.**

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $-\sqrt{3}$

(4) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

(5) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(6) $1$

(7) $\sqrt{3}$

(8) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

(9) $-\frac{1}{2}$

**12.**

$\sin \theta = -\frac{7\sqrt{74}}{74}$

$\cos \theta = -\frac{5\sqrt{74}}{74}$

**13.**

$\sin \theta \cdot \cos \theta = -\frac{8}{25}$