直方体ABCD-EFGHにおいて、AE = $\sqrt{6}$, AD = 3, EF = $\sqrt{3}$とする。$\angle AFC = \theta$としたとき、$\cos{\theta}$の値と、$\triangle ACF$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AE = $\sqrt{6}$, AD = 3, EF = $\sqrt{3}$とする。$\angle AFC = \theta$としたとき、$\cos{\theta}$の値と、$\triangle ACF$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、AF, CF, ACの長さを求める。

$AF = \sqrt{AE^2 + EF^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$

$CF = \sqrt{CG^2 + GF^2} = \sqrt{AE^2 + AD^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 3^2} = \sqrt{6 + 9} = \sqrt{15}$

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{EF^2 + AD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

次に、余弦定理を用いて$\cos{\theta}$を求める。

$AC^2 = AF^2 + CF^2 - 2 \cdot AF \cdot CF \cdot \cos{\theta}$

$(2\sqrt{3})^2 = 3^2 + (\sqrt{15})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{15} \cdot \cos{\theta}$

$12 = 9 + 15 - 6\sqrt{15} \cos{\theta}$

$12 = 24 - 6\sqrt{15} \cos{\theta}$

$6\sqrt{15} \cos{\theta} = 12$

$\cos{\theta} = \frac{12}{6\sqrt{15}} = \frac{2}{\sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{15}}{15}$

したがって、$\cos{\theta} = \frac{2\sqrt{15}}{15}$である。

次に、$\triangle ACF$の面積を求める。

$\triangle ACF$の面積を$S$とすると、

$S = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot CF \cdot \sin{\theta}$

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$より、$\sin{\theta} = \sqrt{1 - \cos^2{\theta}} = \sqrt{1 - (\frac{2}{\sqrt{15}})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{11}{15}} = \frac{\sqrt{165}}{15}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{15} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{11}}{2} = \frac{3\sqrt{11}}{2}$

3. 最終的な答え

$\cos{\theta} = \frac{2\sqrt{15}}{15}$

$\triangle ACF$の面積は$\frac{3\sqrt{11}}{2}$