直線 $l: y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$ と、直線 $l$ 上の $x$ 座標が $-4$ である点 $P$ を通り、傾きが $-2$ である直線 $m$ がある。2直線 $l, m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれ $A, B$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) 直線 $m$ の式を求める。 (2) $\triangle ABP$ の面積を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$ と、直線 $l$ 上の $x$ 座標が $-4$ である点 $P$ を通り、傾きが $-2$ である直線 $m$ がある。2直線 $l, m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれ $A, B$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) 直線 $m$ の式を求める。

(2) $\triangle ABP$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、点 $P$ の座標を求める。直線 $l$ の式に $x = -4$ を代入すると、

$y = -\frac{1}{3}(-4) + \frac{8}{3} = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{12}{3} = 4$

したがって、点 $P$ の座標は $(-4, 4)$ である。

次に、傾きが $-2$ で点 $(-4, 4)$ を通る直線 $m$ の式を求める。

直線の方程式を $y = ax + b$ とおくと、$a = -2$ であるから、$y = -2x + b$ となる。

この直線が点 $(-4, 4)$ を通るので、代入すると、

$4 = -2(-4) + b$

$4 = 8 + b$

$b = -4$

したがって、直線 $m$ の式は $y = -2x - 4$ である。

(2) まず、点 $A$ の座標を求める。点 $A$ は直線 $l$ と $x$ 軸との交点であるので、$y = 0$ を直線 $l$ の式に代入すると、

$0 = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$

$\frac{1}{3}x = \frac{8}{3}$

$x = 8$

したがって、点 $A$ の座標は $(8, 0)$ である。

次に、点 $B$ の座標を求める。点 $B$ は直線 $m$ と $x$ 軸との交点であるので、$y = 0$ を直線 $m$ の式に代入すると、

$0 = -2x - 4$

$2x = -4$

$x = -2$

したがって、点 $B$ の座標は $(-2, 0)$ である。

$\triangle ABP$ の面積を求める。底辺を $AB$ とすると、底辺の長さは $8 - (-2) = 10$ である。高さは点 $P$ の $y$ 座標である $4$ である。

$\triangle ABP$ の面積は、$\frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x - 4$

(2) $20$