四面体OABCと点Pについて、ベクトルに関する式 $10\vec{OP}+5\vec{AP}+9\vec{BP}+8\vec{CP}=\vec{0}$ が成り立つ。 (1) 点Pはどのような位置にあるか。 (2) 四面体OABC, PABCの体積をそれぞれ$V_1$, $V_2$とするとき、$V_1:V_2$を求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCと点Pについて、ベクトルに関する式 $10\vec{OP}+5\vec{AP}+9\vec{BP}+8\vec{CP}=\vec{0}$ が成り立つ。

(1) 点Pはどのような位置にあるか。

(2) 四面体OABC, PABCの体積をそれぞれ$V_1$, $V_2$とするとき、$V_1:V_2$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられたベクトル方程式を、始点をOとするベクトルで書き換える。

$10\vec{OP}+5(\vec{OP}-\vec{OA})+9(\vec{OP}-\vec{OB})+8(\vec{OP}-\vec{OC})=\vec{0}$

これを整理すると、

$32\vec{OP}=5\vec{OA}+9\vec{OB}+8\vec{OC}$

$\vec{OP}=\frac{5\vec{OA}+9\vec{OB}+8\vec{OC}}{32}$

ここで、$\vec{OD} = \frac{9\vec{OB}+8\vec{OC}}{17}$ となる点Dを辺BC上にとると、点Dは辺BCを8:9に内分する点となる。

$\vec{OP}=\frac{5\vec{OA}+17\vec{OD}}{32}=\frac{32}{32}(\frac{5/32}{5/32}\vec{OA} + \frac{17/32}{17/32}\vec{OD})$

$\vec{OP} = \frac{5\vec{OA}+17\vec{OD}}{32}$

したがって、点Pは線分ADを17:5に内分する点である。

(2) $V_1$は四面体OABCの体積、$V_2$は四面体PABCの体積である。

点Pは線分ADを17:5に内分するので、点Aから平面OBCまでの距離をhとすると、点Pから平面ABCまでの距離は$\frac{5}{32}h$。

また、点Dは辺BCを8:9に内分するので、三角形OBCの面積を$S_{OBC}$とすると、三角形ABCの面積は$\frac{17}{32}S_{OBC}$。

四面体OABCの体積$V_1 = \frac{1}{3}S_{OBC}h$

四面体PABCの体積$V_2 = \frac{1}{3}S_{ABC} \cdot \frac{5}{32}h$

$V_2 = \frac{1}{3}\frac{5}{32}h (\frac{9+8}{17}S_{OBC}) = \frac{5}{32}S_{ABC} h$

$V_2 = \frac{5}{32}\frac{17}{32}S_{OBC} h$

したがって、

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{3}S_{ABC}\frac{5}{32}h}{\frac{1}{3}S_{OBC}h} = \frac{5}{32} \cdot \frac{S_{ABC}}{S_{OBC}}$

$\vec{OP} = \frac{5\vec{OA}+9\vec{OB}+8\vec{OC}}{32}$　より

$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA} = \frac{-27\vec{OA}+9\vec{OB}+8\vec{OC}}{32}$

点Pは、四面体OABCの内部にあるので、四面体OABCを底面ABCから見たときの高さの比を考えると、

体積比は $V_2/V_1 = 5/32$。

よって、$V_1:V_2= 32:5$

3. 最終的な答え

(1) 点Pは線分ADを17:5に内分する点。ただし、点Dは辺BCを8:9に内分する点である。

(2) $V_1:V_2 = 32:5$