3点 $A(-2, 4)$、$B(-3, -5)$、$C(5, -1)$ が与えられたとき、以下のものを求めます。 (1) 直線BCの方程式 (2) 線分BCの長さ (3) 点Aと直線BCの距離 (4) 三角形ABCの面積

1. 問題の内容

3点 $A(-2, 4)$、$B(-3, -5)$、$C(5, -1)$ が与えられたとき、以下のものを求めます。

(1) 直線BCの方程式

(2) 線分BCの長さ

(3) 点Aと直線BCの距離

(4) 三角形ABCの面積

2. 解き方の手順

(1) 直線BCの方程式

まず、直線BCの傾き $m$ を求めます。

$m = \frac{-1 - (-5)}{5 - (-3)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

次に、点B（-3, -5）または点C（5, -1）を用いて、直線の方程式を求めます。点Cを用いると、

$y - (-1) = \frac{1}{2}(x - 5)$

$y + 1 = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2}$

両辺に2をかけて、$2y = x - 7$

整理すると、$x - 2y - 7 = 0$

(2) 線分BCの長さ

線分BCの長さは、2点間の距離の公式を用いて求めます。

$BC = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-1 - (-5))^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

(3) 点Aと直線BCの距離

点A(-2, 4)と直線 $x - 2y - 7 = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて求めます。

$d = \frac{|1 \cdot (-2) - 2 \cdot 4 - 7|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2 - 8 - 7|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-17|}{\sqrt{5}} = \frac{17}{\sqrt{5}} = \frac{17\sqrt{5}}{5}$

(4) 三角形ABCの面積

三角形ABCの面積Sは、以下の公式を用いて求めます。

$S = \frac{1}{2} |(x_A - x_C)(y_B - y_A) - (x_A - x_B)(y_C - y_A)|$

$S = \frac{1}{2} |(-2 - 5)(-5 - 4) - (-2 - (-3))(-1 - 4)| = \frac{1}{2} |(-7)(-9) - (1)(-5)| = \frac{1}{2} |63 + 5| = \frac{1}{2} |68| = 34$

または、$BC$を底辺とすると、(2)より$4\sqrt{5}$、高さは(3)より$\frac{17\sqrt{5}}{5}$なので、面積は$\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot \frac{17\sqrt{5}}{5} = \frac{2 \cdot 17 \cdot 5}{5} = 34$

3. 最終的な答え

(1) 直線BCの方程式: $x - 2y - 7 = 0$

(2) 線分BCの長さ: $4\sqrt{5}$

(3) 点Aと直線BCの距離: $\frac{17\sqrt{5}}{5}$

(4) 三角形ABCの面積: 34