数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = -2n^2 + 15n$ で与えられているとき、$a_7$ の値、$S_n$ の最大値、および $\sum_{n=1}^{10} |a_n|$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = -2n^2 + 15n$ で与えられているとき、$a_7$ の値、$S_n$ の最大値、および $\sum_{n=1}^{10} |a_n|$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $a_n$ を求める:

$a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \ge 2$)である。

$a_1 = S_1 = -2(1)^2 + 15(1) = 13$

$a_n = (-2n^2 + 15n) - [-2(n-1)^2 + 15(n-1)]$

$a_n = -2n^2 + 15n + 2(n^2 - 2n + 1) - 15n + 15$

$a_n = -2n^2 + 15n + 2n^2 - 4n + 2 - 15n + 15$

$a_n = -4n + 17$

$a_7 = -4(7) + 17 = -28 + 17 = -11$

(2) $S_n$ の最大値を求める:

$S_n = -2n^2 + 15n = -2(n^2 - \frac{15}{2}n) = -2(n^2 - \frac{15}{2}n + (\frac{15}{4})^2 - (\frac{15}{4})^2) = -2(n - \frac{15}{4})^2 + 2(\frac{225}{16}) = -2(n - \frac{15}{4})^2 + \frac{225}{8}$

$n$ は整数であるから、$n = 3$ または $n=4$ のとき、$S_n$ は最大となる。

$S_3 = -2(3^2) + 15(3) = -18 + 45 = 27$

$S_4 = -2(4^2) + 15(4) = -32 + 60 = 28$

$S_4$ は最大となるので最大値は $28$。

(3) $\sum_{n=1}^{10} |a_n|$ を求める:

$a_n = -4n + 17$

$a_n = 0$ となるのは $-4n + 17 = 0$ より $n = \frac{17}{4} = 4.25$

$n \le 4$ のとき $a_n > 0$, $n \ge 5$ のとき $a_n < 0$

$\sum_{n=1}^{10} |a_n| = \sum_{n=1}^{4} a_n - \sum_{n=5}^{10} a_n$

$\sum_{n=1}^{10} |a_n| = \sum_{n=1}^{4} (-4n + 17) - \sum_{n=5}^{10} (-4n + 17)$

$\sum_{n=1}^{4} (-4n + 17) = (-4(1)+17) + (-4(2)+17) + (-4(3)+17) + (-4(4)+17) = 13 + 9 + 5 + 1 = 28$

$\sum_{n=5}^{10} (-4n + 17) = (-4(5)+17) + (-4(6)+17) + (-4(7)+17) + (-4(8)+17) + (-4(9)+17) + (-4(10)+17) = -3 - 7 - 11 - 15 - 19 - 23 = -78$

$\sum_{n=1}^{10} |a_n| = 28 - (-78) = 28 + 78 = 106$

3. 最終的な答え

$a_7 = -11$

$S_n$ の最大値は $28$

$\sum_{n=1}^{10} |a_n| = 106$