与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, (n-1)^2 \cdot 2, n^2 \cdot 1$ となっています。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, (n-1)^2 \cdot 2, n^2 \cdot 1$ となっています。

2. 解き方の手順

この数列の一般項は、$k^2(n - k + 1)$ で表されます。ここで、$k$ は 1 から $n$ までの整数です。したがって、求める和は次のようになります。

$S = \sum_{k=1}^{n} k^2(n - k + 1)$

$S = \sum_{k=1}^{n} (nk^2 - k^3 + k^2)$

$S = \sum_{k=1}^{n} ((n+1)k^2 - k^3)$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ を利用します。

$S = (n+1) \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k^3$

$S = (n+1) \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$S = \frac{n(n+1)^2}{12} [2(2n+1) - 3n]$

$S = \frac{n(n+1)^2}{12} [4n+2 - 3n]$

$S = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$