与えられた複素数の計算を行い、結果を $a + bi$ の形で表す。具体的には以下の4つの計算を行う。 (1) $\frac{1}{i}$, $\frac{1}{i^2}$, $\frac{1}{i^3}$ (2) $\frac{5i}{3+i}$ (3) $\frac{9+2i}{1-2i}$ (4) $\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i}$

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算を行い、結果を $a + bi$ の形で表す。具体的には以下の4つの計算を行う。

(1) $\frac{1}{i}$, $\frac{1}{i^2}$, $\frac{1}{i^3}$

(2) $\frac{5i}{3+i}$

(3) $\frac{9+2i}{1-2i}$

(4) $\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{i}$, $\frac{1}{i^2}$, $\frac{1}{i^3}$ を計算する。

* $i^2 = -1$

* $i^3 = i^2 * i = -i$

* $\frac{1}{i} = \frac{1}{i} * \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = -i$

* $\frac{1}{i^2} = \frac{1}{-1} = -1$

* $\frac{1}{i^3} = \frac{1}{-i} = \frac{1}{-i} * \frac{i}{i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{1} = i$

(2) $\frac{5i}{3+i}$ を計算する。

* 分母の共役複素数 $3-i$ を分子と分母にかける。

* $\frac{5i}{3+i} = \frac{5i(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{15i - 5i^2}{9 - i^2} = \frac{15i - 5(-1)}{9 - (-1)} = \frac{15i + 5}{10} = \frac{5+15i}{10} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$

(3) $\frac{9+2i}{1-2i}$ を計算する。

* 分母の共役複素数 $1+2i$ を分子と分母にかける。

* $\frac{9+2i}{1-2i} = \frac{(9+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{9 + 18i + 2i + 4i^2}{1 - 4i^2} = \frac{9 + 20i + 4(-1)}{1 - 4(-1)} = \frac{9 + 20i - 4}{1 + 4} = \frac{5 + 20i}{5} = 1 + 4i$

(4) $\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i}$ を計算する。

* $\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6 - 2i - 3i + i^2}{9 - i^2} = \frac{6 - 5i - 1}{9 + 1} = \frac{5 - 5i}{10} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

* $\frac{5+10i}{1-3i} = \frac{(5+10i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} = \frac{5 + 15i + 10i + 30i^2}{1 - 9i^2} = \frac{5 + 25i - 30}{1 + 9} = \frac{-25 + 25i}{10} = -\frac{5}{2} + \frac{5}{2}i$

* $\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i) - (-\frac{5}{2} + \frac{5}{2}i) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i = \frac{6}{2} - \frac{6}{2}i = 3 - 3i$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{i} = -i$, $\frac{1}{i^2} = -1$, $\frac{1}{i^3} = i$

(2) $\frac{5i}{3+i} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$

(3) $\frac{9+2i}{1-2i} = 1 + 4i$

(4) $\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i} = 3 - 3i$