次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。 (1) $2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, \dots$ (2) $1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

(1) $2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, \dots$

(2) $1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列の第 $k$ 項を $a_k$ とすると、

$a_k = 2 + 4 + 6 + \dots + 2k = \sum_{i=1}^{k} 2i = 2\sum_{i=1}^{k} i = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1)$

数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ なので、

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2) 数列の第 $k$ 項を $b_k$ とすると、

$b_k = 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{k-1} = \sum_{i=0}^{k-1} 3^i = \frac{1(3^k - 1)}{3-1} = \frac{3^k - 1}{2}$

数列の初項から第 $n$ 項までの和 $T_n$ は、

$T_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (3^k - 1) = \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 1)$

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ なので、

$T_n = \frac{1}{2} (\frac{3(3^n - 1)}{2} - n) = \frac{3(3^n - 1) - 2n}{4} = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2) $\frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$