数列 $\{a_n\}$ の一般項を、階差数列を利用して求めます。 (1) $1, 2, 4, 7, 11, \dots$ (2) $2, 3, 5, 9, 17, \dots$

はい、承知いたしました。与えられた問題について、階差数列を利用して数列の一般項を求める問題を解きます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を、階差数列を利用して求めます。

(1) $1, 2, 4, 7, 11, \dots$

(2) $2, 3, 5, 9, 17, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列 $1, 2, 4, 7, 11, \dots$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、

$b_1 = 2-1 = 1, b_2 = 4-2 = 2, b_3 = 7-4 = 3, b_4 = 11-7 = 4, \dots$

よって、階差数列 $\{b_n\}$ は $b_n = n$ となります。

したがって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2 - n + 2}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2 - 1 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、この式は $n=1$ でも成り立ちます。

(2) 数列 $2, 3, 5, 9, 17, \dots$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、

$b_1 = 3-2 = 1, b_2 = 5-3 = 2, b_3 = 9-5 = 4, b_4 = 17-9 = 8, \dots$

よって、階差数列 $\{b_n\}$ は $b_n = 2^{n-1}$ となります。

したがって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 2 + \sum_{k=0}^{n-2} 2^k = 2 + \frac{1-2^{n-1}}{1-2} = 2 + (2^{n-1} - 1) = 2^{n-1} + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 1 = 2^0 + 1 = 1 + 1 = 2$ となり、この式は $n=1$ でも成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$

(2) $a_n = 2^{n-1} + 1$