(1) 複素数 $z$ に対して、$\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i}$ が実数となるような $z$ 全体の描く図形 $P$ を複素数平面上に図示せよ。 (2) $z$ が (1) で求めた図形 $P$ 上を動くとき、$w = \frac{z+i}{z-i}$ の描く図形を複素数平面上に図示せよ。

はい、承知しました。与えられた問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

(1) 複素数 $z$ に対して、$\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i}$ が実数となるような $z$ 全体の描く図形 $P$ を複素数平面上に図示せよ。

(2) $z$ が (1) で求めた図形 $P$ 上を動くとき、$w = \frac{z+i}{z-i}$ の描く図形を複素数平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) $z = x + yi$ （$x$, $y$ は実数）とおく。

$\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i} = \frac{1}{x + (y+1)i} + \frac{1}{x + (y-1)i}$

$= \frac{x - (y+1)i}{x^2 + (y+1)^2} + \frac{x - (y-1)i}{x^2 + (y-1)^2}$

$= \frac{x}{x^2 + (y+1)^2} - \frac{y+1}{x^2 + (y+1)^2}i + \frac{x}{x^2 + (y-1)^2} - \frac{y-1}{x^2 + (y-1)^2}i$

$= \left(\frac{x}{x^2 + (y+1)^2} + \frac{x}{x^2 + (y-1)^2}\right) - \left(\frac{y+1}{x^2 + (y+1)^2} + \frac{y-1}{x^2 + (y-1)^2}\right)i$

この複素数が実数となるのは、虚部が 0 になるときである。つまり、

$\frac{y+1}{x^2 + (y+1)^2} + \frac{y-1}{x^2 + (y-1)^2} = 0$

$(y+1)(x^2 + (y-1)^2) + (y-1)(x^2 + (y+1)^2) = 0$

$(y+1)(x^2 + y^2 - 2y + 1) + (y-1)(x^2 + y^2 + 2y + 1) = 0$

$yx^2 + y^3 - 2y^2 + y + x^2 + y^2 - 2y + 1 + yx^2 + y^3 + 2y^2 + y - x^2 - y^2 - 2y - 1 = 0$

$2yx^2 + 2y^3 - 2y = 0$

$2y(x^2 + y^2 - 1) = 0$

したがって、$y=0$ または $x^2 + y^2 = 1$

$y=0$ は $z$ が実軸上にあることを意味し、$x^2 + y^2 = 1$ は原点中心、半径 1 の円を表す。

ただし、$\frac{1}{z+i}$ および $\frac{1}{z-i}$ が定義されるためには $z \neq \pm i$ でなければならない。したがって、$x^2+y^2=1$ は $z=i$, $z=-i$ を除く。$z=i$, $z=-i$ はそれぞれ $(0,1)$、 $(0,-1)$ に対応するので、$x^2 + y^2 = 1$ から $(0,1)$ と $(0,-1)$ を除いたものが答えとなる。

(2) $w = \frac{z+i}{z-i}$ より、$z = \frac{iw+i}{w-1} = i\frac{w+1}{w-1}$

(i) $z$ が実軸上にあるとき、$z = x$ ($x$ は実数)

$x = i\frac{w+1}{w-1}$

$\frac{w+1}{w-1} = \frac{w-1+2}{w-1} = 1 + \frac{2}{w-1} = \frac{x}{i} = -xi$

$w-1 = \frac{2}{-xi} = \frac{2i}{x}$

$w = 1 + \frac{2i}{x}$

$w = 1 + yi$ ($y$ は 0 以外の実数)

これは、実部が 1 の直線を表す。ただし、$w = 1$ を除く。

(ii) $z$ が原点中心、半径 1 の円上にあるとき、$z = e^{i\theta}$ ($0 \le \theta < 2\pi$, $\theta \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$)

$w = \frac{e^{i\theta} + i}{e^{i\theta} - i} = \frac{\cos\theta + i(\sin\theta + 1)}{\cos\theta + i(\sin\theta - 1)}$

$w = \frac{(\cos\theta + i(\sin\theta + 1))(\cos\theta - i(\sin\theta - 1))}{(\cos\theta)^2 + (\sin\theta - 1)^2} = \frac{\cos^2\theta + (\sin\theta + 1)(\sin\theta - 1) + i(\cos\theta(\sin\theta + 1) - \cos\theta(\sin\theta - 1))}{\cos^2\theta + \sin^2\theta - 2\sin\theta + 1}$

$= \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta - 1 + i(2\cos\theta)}{2 - 2\sin\theta} = \frac{i2\cos\theta}{2 - 2\sin\theta} = \frac{i\cos\theta}{1 - \sin\theta} = i\frac{\cos\theta(1+\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}$

$= i\frac{\cos\theta(1+\sin\theta)}{\cos^2\theta} = i\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}$

$= i(\frac{1}{\cos\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta}) = i(\frac{1}{\cos\theta} + \tan\theta)$

$w$ は純虚数である。

$\theta \neq \frac{\pi}{2}$ のとき $w \to \infty$

$\theta \neq \frac{3\pi}{2}$ のとき $w \to -\infty$

$w$ は虚軸全体となる。

3. 最終的な答え

(1) 実軸全体と、原点中心半径 1 の円。ただし、$(0,1)$ と $(0,-1)$ を除く。

(2) 実部が 1 の直線全体と虚軸全体。ただし、$w = 1$を除く。