$a$ を実数の定数とする。2次関数 $y = x^2 - 2ax + 3a$ の $0 \le x \le 4$ における最小値が $-4$ のとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を実数の定数とする。2次関数 $y = x^2 - 2ax + 3a$ の $0 \le x \le 4$ における最小値が $-4$ のとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2ax + 3a = (x-a)^2 - a^2 + 3a$

よって、頂点の座標は $(a, -a^2 + 3a)$ である。

定義域 $0 \le x \le 4$ における最小値を考える。

場合分けをする。

(i) $a < 0$ のとき

$x = 0$ で最小値をとる。

$y(0) = 0^2 - 2a(0) + 3a = 3a = -4$

$a = -\frac{4}{3}$

これは $a < 0$ を満たす。

(ii) $0 \le a \le 4$ のとき

$x = a$ で最小値をとる。

$y(a) = -a^2 + 3a = -4$

$a^2 - 3a - 4 = 0$

$(a - 4)(a + 1) = 0$

$a = 4, -1$

$0 \le a \le 4$ を満たすのは $a = 4$ である。

(iii) $a > 4$ のとき

$x = 4$ で最小値をとる。

$y(4) = 4^2 - 2a(4) + 3a = 16 - 8a + 3a = 16 - 5a = -4$

$-5a = -20$

$a = 4$

これは $a > 4$ を満たさない。

したがって、$a = -\frac{4}{3}, 4$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{4}{3}, 4$