$a > 0$, $b > 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明する問題です。 (1) $ab + \frac{1}{ab} \ge 2$ (2) $(1 + \frac{b}{a})(1 + \frac{a}{b}) \ge 4$

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明する問題です。

(1) $ab + \frac{1}{ab} \ge 2$

(2) $(1 + \frac{b}{a})(1 + \frac{a}{b}) \ge 4$

2. 解き方の手順

(1) 相加相乗平均の不等式を利用します。$x > 0$のとき、$x + \frac{1}{x} \ge 2$が成り立ちます。等号成立は$x = 1$のときです。

$ab > 0$なので、$ab$を$x$と考えると、$ab + \frac{1}{ab} \ge 2$が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$ab = 1$のときです。

(2) $(1 + \frac{b}{a})(1 + \frac{a}{b})$を展開します。

$(1 + \frac{b}{a})(1 + \frac{a}{b}) = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

ここで、$\frac{a}{b} > 0$なので、相加相乗平均の不等式より、$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$が成り立ちます。等号成立は$\frac{a}{b} = 1$つまり$a=b$のときです。

よって、$2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 + 2 = 4$となります。

したがって、$(1 + \frac{b}{a})(1 + \frac{a}{b}) \ge 4$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $ab + \frac{1}{ab} \ge 2$ (証明終わり)

(2) $(1 + \frac{b}{a})(1 + \frac{a}{b}) \ge 4$ (証明終わり)