$x = \frac{1}{\sqrt{5}-1}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5}+1}$ のとき、以下の値を求めます。 (1) $x+y$ および $xy$ (2) $x^2+y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-1}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5}+1}$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $x+y$ および $xy$

(2) $x^2+y^2$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-1} = \frac{1}{\sqrt{5}-1} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}+1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}+1} = \frac{1}{\sqrt{5}+1} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(1) $x+y$ を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{5}+1}{4} + \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{5}-1}{4} = \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

次に、$xy$ を計算します。

$xy = \frac{\sqrt{5}+1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{16} = \frac{5-1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

(2) $x^2+y^2$ を計算します。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x^2+y^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \frac{\sqrt{5}}{2}$ , $xy = \frac{1}{4}$

(2) $x^2+y^2 = \frac{3}{4}$