$\frac{2}{3}$ と $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ の大小関係を、$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ の分母を有理化することによって比較せよ。

1. 問題の内容

$\frac{2}{3}$ と $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ の大小関係を、$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ の分母を有理化することによって比較せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ の分母を有理化します。分母の有理化には、分母の共役な複素数（今回は共役な無理数）を分子と分母の両方に掛けます。$\sqrt{5}+\sqrt{2}$ の共役な無理数は $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ です。

よって、

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\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}

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次に、$\frac{2}{3}$ と $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$ の大小を比較します。分母が同じなので、分子の大小を比較すれば良いです。つまり、2 と $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ の大小を比較します。

$2$ と $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ の大小を比較するために、両方を2乗して比較します。

$2^2 = 4$

$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$

ここで、$4$ と $7-2\sqrt{10}$ の大小を比較します。

$4$ と $7-2\sqrt{10}$ を比較するために、両辺から7を引くと

$-3$ と $-2\sqrt{10}$ となります。

両辺に-1をかけると

$3$ と $2\sqrt{10}$ となります。

両辺を2乗すると

$3^2 = 9$ と $(2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$ となります。

$9 < 40$ なので、$3 < 2\sqrt{10}$ となります。

したがって、$-3 > -2\sqrt{10}$ となり、$4 > 7 - 2\sqrt{10}$ となります。

よって、$2 > \sqrt{5}-\sqrt{2}$ となります。

したがって、$\frac{2}{3} > \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$ となります。

つまり、$\frac{2}{3} > \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3} > \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$