与えられた多項式を因数分解する問題です。ここでは、(3) $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$、(5) $3a^2 - 5ab - 2b^2 + 4a - b + 1$、(6) $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$ の3つの問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。ここでは、(3) $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$、(5) $3a^2 - 5ab - 2b^2 + 4a - b + 1$、(6) $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$ の3つの問題を解きます。

2. 解き方の手順

(3) $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$

まず、$x$の項と$y$の項をそれぞれまとめ、平方完成を目指します。

$x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$

$-y^2 - 6y = -(y^2 + 6y) = -(y+3)^2 + 9$

与式に代入すると、

$(x-2)^2 - 4 - (y+3)^2 + 9 - 5 = (x-2)^2 - (y+3)^2 = (x-2+y+3)(x-2-y-3) = (x+y+1)(x-y-5)$

(5) $3a^2 - 5ab - 2b^2 + 4a - b + 1$

$a$について整理します。

$3a^2 + (4-5b)a - (2b^2 + b - 1) = 3a^2 + (4-5b)a - (2b-1)(b+1)$

たすき掛けを考えます。

$3a^2 + (4-5b)a - (2b-1)(b+1) = (3a + b + 1)(a - 2b + 1)$

(6) $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$

$x$について整理します。

$6x^2 + (-7a - 6)x + (2a^2 + 5a - 12)$

$2a^2 + 5a - 12 = (2a-3)(a+4)$

$6x^2 + (-7a-6)x + (2a-3)(a+4)$

たすき掛けを考えます。

$6x^2 + (-7a - 6)x + (2a-3)(a+4) = (2x - a - 4)(3x - 2a + 3)$

3. 最終的な答え

(3) $(x+y+1)(x-y-5)$

(5) $(3a + b + 1)(a - 2b + 1)$

(6) $(2x - a - 4)(3x - 2a + 3)$