複素数 $z$ が、等式 $2z + \overline{z} = 1 + i$ を満たすとき、 (1) $2\overline{z} + z$ を求めよ。 (2) $z$ を求めよ。

はい、承知しました。以下の問題1を解きます。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が、等式 $2z + \overline{z} = 1 + i$ を満たすとき、

(1) $2\overline{z} + z$ を求めよ。

(2) $z$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$z = x + yi$ とおきます。ここで $x$ と $y$ は実数です。すると、$\overline{z} = x - yi$ となります。

与えられた等式 $2z + \overline{z} = 1 + i$ に代入すると、

$2(x + yi) + (x - yi) = 1 + i$

$2x + 2yi + x - yi = 1 + i$

$(3x) + (y)i = 1 + i$

したがって、$3x = 1$ かつ $y = 1$ が得られます。これにより、$x = \frac{1}{3}$ と $y = 1$ が分かります。

次に、$2\overline{z} + z$ を計算します。

$2\overline{z} + z = 2(x - yi) + (x + yi) = 3x - yi$

$x = \frac{1}{3}$ と $y = 1$ を代入して

$2\overline{z} + z = 3(\frac{1}{3}) - (1)i = 1 - i$

(2) (1)より、$3x=1$、$y=1$ が分かりました。これより$x=\frac{1}{3}$、$y=1$です。したがって、

$z = x + yi = \frac{1}{3} + i$

3. 最終的な答え

(1) $2\overline{z} + z = 1 - i$

(2) $z = \frac{1}{3} + i$