与えられた3つの式を簡単にします。 (1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を簡単にします。

(1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$

$7 + 2\sqrt{10}$ を $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ の形にすることを考えます。

$a + b = 7$ かつ $ab = 10$ となる $a, b$ を探します。

$a = 5, b = 2$ が条件を満たします。

よって、

$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{12 - 2\sqrt{27}}$

$12 - 2\sqrt{27}$ を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ の形にすることを考えます。

$a + b = 12$ かつ $ab = 27$ となる $a, b$ を探します。

$a = 9, b = 3$ が条件を満たします。

よって、

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{9} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(3 - \sqrt{3})^2} = 3 - \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

$\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ を二重根号の形に直すために、$\sqrt{2}$をかけます。

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

$4 + 2\sqrt{3}$ を $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ の形にすることを考えます。

$a + b = 4$ かつ $ab = 3$ となる $a, b$ を探します。

$a = 3, b = 1$ が条件を満たします。

よって、

$\frac{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $3 - \sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$