与えられた式 $(a+b+3)(a-b+3)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+3)(a-b+3)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

式 $(a+b+3)(a-b+3)$ を展開するために、まず $(a+3)$ を一つの項とみなして、 $(a+3)$ を分配法則で展開します。

$(a+b+3)(a-b+3) = ((a+3)+b)((a+3)-b)$

ここで、$A = (a+3)$ とおくと、

$(A+b)(A-b)$ という形になり、これは和と差の積の公式 $(A+b)(A-b) = A^2 - b^2$ を利用できます。

$(A+b)(A-b) = A^2 - b^2$

$A$ を $(a+3)$ に戻すと、

$(a+3)^2 - b^2$ となります。

次に、$(a+3)^2$ を展開します。

$(a+3)^2 = (a+3)(a+3) = a^2 + 2(a)(3) + 3^2 = a^2 + 6a + 9$

したがって、

$(a+3)^2 - b^2 = a^2 + 6a + 9 - b^2$

これを整理すると、

$a^2 - b^2 + 6a + 9$

3. 最終的な答え

$a^2 - b^2 + 6a + 9$