90にできるだけ小さい自然数をかけて、ある自然数の2乗になるようにしたい。かけるべき自然数を求める。

1. 問題の内容

90にできるだけ小さい自然数をかけて、ある自然数の2乗になるようにしたい。かけるべき自然数を求める。

2. 解き方の手順

ある自然数の2乗になる数は、平方数です。90に何かをかけて平方数にするには、まず90を素因数分解します。

$90 = 2 \times 45 = 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5$

$90 = 2 \times 3^2 \times 5$ という素因数分解の結果から、90に$2 \times 5$をかけると、

$90 \times (2 \times 5) = (2 \times 3^2 \times 5) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 = (2 \times 3 \times 5)^2 = 30^2 = 900$

となり、900は$30^2$なので、平方数になります。

かけるべき数は $2 \times 5 = 10$ です。10より小さい自然数をかけて平方数になるか確認します。

- 1をかけると90, 平方数ではない。

- 2をかけると180, 平方数ではない。

- 3をかけると270, 平方数ではない。

- 4をかけると360, 平方数ではない。

- 5をかけると450, 平方数ではない。

- 6をかけると540, 平方数ではない。

- 7をかけると630, 平方数ではない。

- 8をかけると720, 平方数ではない。

- 9をかけると810, 平方数ではない。

したがって、90にできるだけ小さい自然数をかけて平方数にするには、10をかけるのが最適です。

3. 最終的な答え

10