放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を指定された方向に平行移動して原点を通るようにしたときの放物線の方程式を求めます。 (1) $y$軸方向 (2) $x$軸方向

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を指定された方向に平行移動して原点を通るようにしたときの放物線の方程式を求めます。

(1) $y$軸方向

(2) $x$軸方向

2. 解き方の手順

(1) $y$軸方向への平行移動

$y$軸方向に$p$だけ平行移動したとき、放物線の方程式は

$y - p = x^2 - 4x + 3$

つまり、

$y = x^2 - 4x + 3 + p$

この放物線が原点$(0, 0)$を通るためには、$x = 0$、 $y = 0$を代入して、

$0 = 0^2 - 4(0) + 3 + p$

$0 = 3 + p$

$p = -3$

したがって、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すればよい。

そのときの方程式は、

$y = x^2 - 4x + 3 - 3$

$y = x^2 - 4x$

(2) $x$軸方向への平行移動

$x$軸方向に$q$だけ平行移動したとき、放物線の方程式は

$y = (x - q)^2 - 4(x - q) + 3$

この放物線が原点$(0, 0)$を通るためには、$x = 0$、 $y = 0$を代入して、

$0 = (0 - q)^2 - 4(0 - q) + 3$

$0 = q^2 + 4q + 3$

$0 = (q + 1)(q + 3)$

$q = -1, -3$

$q = -1$のとき、

$y = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 3$

$y = x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 + 3$

$y = x^2 - 2x$

$q = -3$のとき、

$y = (x + 3)^2 - 4(x + 3) + 3$

$y = x^2 + 6x + 9 - 4x - 12 + 3$

$y = x^2 + 2x$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 4x$

(2) $y = x^2 - 2x$、 $y = x^2 + 2x$