二重積分 $\int_{0}^{3} \int_{0}^{2} (x+y) dx dy$ を計算します。

1. 問題の内容

二重積分 $\int_{0}^{3} \int_{0}^{2} (x+y) dx dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、内側の積分 $\int_{0}^{2} (x+y) dx$ を計算します。$y$ は定数として扱います。

$\int_{0}^{2} (x+y) dx = [\frac{x^2}{2} + xy]_{0}^{2} = (\frac{2^2}{2} + 2y) - (\frac{0^2}{2} + 0y) = 2 + 2y$

次に、外側の積分 $\int_{0}^{3} (2+2y) dy$ を計算します。

$\int_{0}^{3} (2+2y) dy = [2y + y^2]_{0}^{3} = (2(3) + 3^2) - (2(0) + 0^2) = 6 + 9 = 15$

3. 最終的な答え

15