三角形ABCにおいて、ADとBEはそれぞれ角Aと角Bの二等分線であり、その交点をFとする。 (i) BDの長さを求める。 (ii) AF:FDを求める。 (iii) 三角形ABF:三角形ABCを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、ADとBEはそれぞれ角Aと角Bの二等分線であり、その交点をFとする。

(i) BDの長さを求める。

(ii) AF:FDを求める。

(iii) 三角形ABF:三角形ABCを求める。

2. 解き方の手順

(i) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC$が成り立つ。

$BD:16 = 15:9$

$BD = \frac{15}{9} \times 16 = \frac{5}{3} \times 16 = \frac{80}{3}$

(ii) 角の二等分線の性質より、$AF:FD = AB:BD$が成り立つ。

$AF:FD = 15 : \frac{80}{3} = 45:80 = 9:16$

(iii) 三角形ABFの面積と三角形ABCの面積の比を求める。

ADは角Aの二等分線であるから、$AF:FD=9:16$

三角形ABFの面積 : 三角形ABDの面積 = 9 : (9+16) = 9:25

三角形ABDの面積 : 三角形ABCの面積 = BD : BC = $\frac{80}{3} : (\frac{80}{3} + 16) = \frac{80}{3} : \frac{80+48}{3} = \frac{80}{3} : \frac{128}{3} = 80:128 = 5:8$

三角形ABF : 三角形ABC = (三角形ABF : 三角形ABD) x (三角形ABD : 三角形ABC) = $\frac{9}{25} \times \frac{5}{8} = \frac{9}{5 \times 8} = \frac{9}{40}$

3. 最終的な答え

(i) BD = $\frac{80}{3}$

(ii) AF:FD = 9:16

(iii) 三角形ABF : 三角形ABC = 9:40