与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2+3xy+2y^2+2x+5y-3$ (2) $3x^2-xy-2y^2+6x-y+3$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2+3xy+2y^2+2x+5y-3$

(2) $3x^2-xy-2y^2+6x-y+3$

2. 解き方の手順

(1) $x^2+3xy+2y^2+2x+5y-3$

まず、$x$の2次式として整理します。

$x^2 + (3y+2)x + (2y^2+5y-3)$

次に、$2y^2+5y-3$を因数分解します。

$2y^2+5y-3 = (2y-1)(y+3)$

したがって、

$x^2 + (3y+2)x + (2y-1)(y+3)$

$x^2 + (2y-1+y+3)x + (2y-1)(y+3)$

$= (x+(2y-1))(x+(y+3))$

$= (x+2y-1)(x+y+3)$

(2) $3x^2-xy-2y^2+6x-y+3$

まず、$x$の2次式として整理します。

$3x^2+(-y+6)x+(-2y^2-y+3)$

次に、$-2y^2-y+3$を因数分解します。

$-2y^2-y+3 = -(2y^2+y-3) = -(2y+3)(y-1) = (2y+3)(1-y)$

したがって、

$3x^2+(-y+6)x-(2y+3)(y-1)$

たすき掛けで因数分解できるか試します。

$(3x + ay + b)(x + cy + d) = 3x^2 + (a+3c)xy + ac y^2 + (3d+b)x + (ad+bc)y + bd$

$ac = -2$, $bd = 3$となるように、$a,b,c,d$を選びます。

$ac = -2y^2-y+3 = -(2y^2+y-3) = -(2y+3)(y-1)$

$3x^2+(-y+6)x+(-2y^2-y+3)$

$3x^2+(-y+6)x-(2y+3)(y-1)$

$3x^2+(-y+6)x+(2y+3)(1-y)$

$(3x+(2y+3))(x+(1-y)) = 3x^2 + 3x - 3xy + 2xy + 2y + 3x + 3 - 3y = 3x^2 - xy + 6x -y + 3$

$(3x - (y-1))(x + (2y+3)) = 3x^2 + 6x + 9 -xy - 2y^2 -3y+x+2y+3 = 3x^2 -xy-2y^2+6x-y+3$

よって

$(3x+2y+3)(x-y+1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2y-1)(x+y+3)$

(2) $(3x+2y+3)(x-y+1)$