ある地区の運動会で綱引きが行われることになった。1チームあたりの人数は大人と子ども合わせて15人である。以下の条件を満たすとき、大人と子どもの人数の組み合わせは何通りあるか。 * 大人の人数は子どもの人数の1.5倍以下にする。 * 子どもの人数は大人の人数の2倍以下にする。

1. 問題の内容

ある地区の運動会で綱引きが行われることになった。1チームあたりの人数は大人と子ども合わせて15人である。以下の条件を満たすとき、大人と子どもの人数の組み合わせは何通りあるか。

* 大人の人数は子どもの人数の1.5倍以下にする。

* 子どもの人数は大人の人数の2倍以下にする。

2. 解き方の手順

まず、大人の人数を $x$、子どもの人数を $y$ とおきます。

問題文より、以下の条件が与えられています。

* $x + y = 15$

* $x \le 1.5y$

* $y \le 2x$

$x + y = 15$ より $y = 15 - x$ であるので、これを残りの2つの不等式に代入します。

$x \le 1.5(15 - x)$

$x \le 22.5 - 1.5x$

$2.5x \le 22.5$

$x \le 9$

$15 - x \le 2x$

$15 \le 3x$

$5 \le x$

$x \ge 5$

したがって、$5 \le x \le 9$ であるから、$x$ は整数なので、$x = 5, 6, 7, 8, 9$ のいずれかです。

それぞれの $x$ に対して、$y = 15 - x$ となる $y$ を求め、与えられた条件を満たすか確認します。

* $x=5$ のとき、$y = 15 - 5 = 10$。条件より、$x \le 1.5y$ なので、$5 \le 1.5 \times 10 = 15$ (成立)。$y \le 2x$ なので、$10 \le 2 \times 5 = 10$ (成立)。

* $x=6$ のとき、$y = 15 - 6 = 9$。条件より、$x \le 1.5y$ なので、$6 \le 1.5 \times 9 = 13.5$ (成立)。$y \le 2x$ なので、$9 \le 2 \times 6 = 12$ (成立)。

* $x=7$ のとき、$y = 15 - 7 = 8$。条件より、$x \le 1.5y$ なので、$7 \le 1.5 \times 8 = 12$ (成立)。$y \le 2x$ なので、$8 \le 2 \times 7 = 14$ (成立)。

* $x=8$ のとき、$y = 15 - 8 = 7$。条件より、$x \le 1.5y$ なので、$8 \le 1.5 \times 7 = 10.5$ (成立)。$y \le 2x$ なので、$7 \le 2 \times 8 = 16$ (成立)。

* $x=9$ のとき、$y = 15 - 9 = 6$。条件より、$x \le 1.5y$ なので、$9 \le 1.5 \times 6 = 9$ (成立)。$y \le 2x$ なので、$6 \le 2 \times 9 = 18$ (成立)。

全ての組み合わせで条件が成立します。

3. 最終的な答え

5通り