与えられた3つの行列の逆行列を、行列の基本変形を用いて求めよ。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の逆行列を、行列の基本変形を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

行列の基本変形を用いて、与えられた行列 $A$ と単位行列 $I$ を並べた拡大行列 $[A | I]$ を作り、$A$ の部分が単位行列になるように基本変形を行う。変形後の行列は $[I | A^{-1}]$ となり、$A^{-1}$ が $A$ の逆行列となる。

(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列を求める。

拡大行列 $[A | I] = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、基本変形を行う。

まず、1行目と2行目を入れ替える: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

次に、2行目から1行目の2倍を引く: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から1行目を引く: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

2行目を-1倍する: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

3行目を-1倍する: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

1行目から2行目を引く: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

1行目に3行目を足す: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

2行目から3行目の3倍を引く: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

したがって、逆行列は $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$。

(2) 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列を求める。

拡大行列 $[A | I] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、基本変形を行う。

1行目から2行目を引く: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2行目から3行目を引く: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から4行目を引く: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

したがって、逆行列は $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$。

(3) 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ の逆行列を求める。

拡大行列 $[A | I] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、基本変形を行う。

2行目から1行目の2倍を引く: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の3倍を引く: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & -3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から2行目を引く: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

2行目に3行目を引く: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

2行目を-1/2倍する: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

1行目から2行目を引く: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 & 1 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

したがって、逆行列は $\begin{bmatrix} 1/2 & 1 & -1/2 \\ 1/2 & -1 & 1/2 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} 1/2 & 1 & -1/2 \\ 1/2 & -1 & 1/2 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$