与えられた式 $\frac{x-6}{x^2-9} + \frac{x-1}{x^2-2x-3}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x-6}{x^2-9} + \frac{x-1}{x^2-2x-3}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分母を因数分解します。

$x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

すると与式は、

$\frac{x-6}{(x+3)(x-3)} + \frac{x-1}{(x-3)(x+1)}$

となります。

次に、通分します。共通の分母は$(x+3)(x-3)(x+1)$です。したがって、

$\frac{(x-6)(x+1)}{(x+3)(x-3)(x+1)} + \frac{(x-1)(x+3)}{(x-3)(x+1)(x+3)}$

分子を展開します。

$\frac{x^2 - 5x - 6}{(x+3)(x-3)(x+1)} + \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+3)(x-3)(x+1)}$

分子同士を足し合わせます。

$\frac{x^2 - 5x - 6 + x^2 + 2x - 3}{(x+3)(x-3)(x+1)} = \frac{2x^2 - 3x - 9}{(x+3)(x-3)(x+1)}$

分子を因数分解します。

$2x^2 - 3x - 9 = (2x+3)(x-3)$

したがって、

$\frac{(2x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)(x+1)}$

$(x-3)$を約分します。

$\frac{2x+3}{(x+3)(x+1)}$

これ以上簡略化できないため、これが答えです。

3. 最終的な答え

$\frac{2x+3}{(x+3)(x+1)}$