与えられた3つの式をそれぞれ計算して、できる限り簡略化します。 (1) $\frac{1}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$ (2) $\frac{x-6}{x^2-9} + \frac{x-1}{x^2-2x-3}$ (3) $\frac{x^3+8x}{x^2-x-2} - \frac{8}{x-2}$

はい、承知いたしました。問題文にある3つの計算問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた3つの式をそれぞれ計算して、できる限り簡略化します。

(1) $\frac{1}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$

(2) $\frac{x-6}{x^2-9} + \frac{x-1}{x^2-2x-3}$

(3) $\frac{x^3+8x}{x^2-x-2} - \frac{8}{x-2}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$

まず、$x^2-1$を因数分解します。

$x^2-1 = (x+1)(x-1)$

したがって、与式は

$\frac{1}{x+1} - \frac{2x}{(x+1)(x-1)}$

通分します。

$\frac{x-1}{(x+1)(x-1)} - \frac{2x}{(x+1)(x-1)}$

分子を計算します。

$\frac{x-1-2x}{(x+1)(x-1)} = \frac{-x-1}{(x+1)(x-1)}$

分子を$-1$でくくります。

$\frac{-(x+1)}{(x+1)(x-1)}$

$x+1$で約分します。

$\frac{-1}{x-1} = -\frac{1}{x-1}$

(2) $\frac{x-6}{x^2-9} + \frac{x-1}{x^2-2x-3}$

まず、$x^2-9$と$x^2-2x-3$を因数分解します。

$x^2-9 = (x+3)(x-3)$

$x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$

したがって、与式は

$\frac{x-6}{(x+3)(x-3)} + \frac{x-1}{(x-3)(x+1)}$

通分します。

$\frac{(x-6)(x+1)}{(x+3)(x-3)(x+1)} + \frac{(x-1)(x+3)}{(x+3)(x-3)(x+1)}$

分子を計算します。

$\frac{x^2 -5x - 6 + x^2 +2x - 3}{(x+3)(x-3)(x+1)} = \frac{2x^2 -3x - 9}{(x+3)(x-3)(x+1)}$

分子を因数分解します。

$2x^2 -3x - 9 = (2x+3)(x-3)$

したがって、与式は

$\frac{(2x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)(x+1)}$

$x-3$で約分します。

$\frac{2x+3}{(x+3)(x+1)}$

(3) $\frac{x^3+8x}{x^2-x-2} - \frac{8}{x-2}$

まず、$x^2-x-2$を因数分解します。

$x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$

したがって、与式は

$\frac{x^3+8x}{(x-2)(x+1)} - \frac{8}{x-2}$

通分します。

$\frac{x^3+8x}{(x-2)(x+1)} - \frac{8(x+1)}{(x-2)(x+1)}$

分子を計算します。

$\frac{x^3+8x - 8x - 8}{(x-2)(x+1)} = \frac{x^3-8}{(x-2)(x+1)}$

分子を因数分解します。

$x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$

したがって、与式は

$\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+1)}$

$x-2$で約分します。

$\frac{x^2+2x+4}{x+1}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{x-1}$

(2) $\frac{2x+3}{(x+3)(x+1)}$

(3) $\frac{x^2+2x+4}{x+1}$