次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (1) $a_1 = 2, a_{n+1} = a_n + 3$ (2) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n$

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(1) $a_1 = 2, a_{n+1} = a_n + 3$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = a_n + 3$ は、公差が3の等差数列である。

等差数列の一般項の公式は $a_n = a_1 + (n-1)d$ である。

$a_1 = 2$ と $d = 3$ を代入すると、

$a_n = 2 + (n-1) \cdot 3$

$a_n = 2 + 3n - 3$

$a_n = 3n - 1$

(2) $a_{n+1} = 2a_n$ は、公比が2の等比数列である。

等比数列の一般項の公式は $a_n = a_1 r^{n-1}$ である。

$a_1 = 1$ と $r = 2$ を代入すると、

$a_n = 1 \cdot 2^{n-1}$

$a_n = 2^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3n - 1$

(2) $a_n = 2^{n-1}$