$y$ は $x$ に反比例し、$x = -1$ のとき $y = -4$ である。この関係を表すグラフ上にある、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数となる点の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$y$ は $x$ に反比例し、$x = -1$ のとき $y = -4$ である。この関係を表すグラフ上にある、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数となる点の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

反比例の式は一般的に $y = \frac{a}{x}$ で表されます。

問題文より、$x = -1$ のとき $y = -4$ なので、これを代入して $a$ を求めます。

$$-4 = \frac{a}{-1}$$

両辺に $-1$ をかけると、

$$a = 4$$

したがって、反比例の式は $y = \frac{4}{x}$ となります。

次に、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数となる点の個数を求めます。

$x$ が整数のとき、$y$ が整数となるためには、$x$ が $4$ の約数でなければなりません。$4$ の約数は $1, 2, 4, -1, -2, -4$ です。

$x=1$ のとき、$y=\frac{4}{1}=4$

$x=2$ のとき、$y=\frac{4}{2}=2$

$x=4$ のとき、$y=\frac{4}{4}=1$

$x=-1$ のとき、$y=\frac{4}{-1}=-4$

$x=-2$ のとき、$y=\frac{4}{-2}=-2$

$x=-4$ のとき、$y=\frac{4}{-4}=-1$

よって、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数となる点は、

$(1, 4)$, $(2, 2)$, $(4, 1)$, $(-1, -4)$, $(-2, -2)$, $(-4, -1)$ の6個です。

3. 最終的な答え

6個