$x$ の変域が $1 \le x \le 6$ のとき、2つの関数 $y = \frac{12}{x}$ と $y = ax+b$ の $y$ の変域が一致するような定数 $a, b$ の値の組 $(a, b)$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の変域が $1 \le x \le 6$ のとき、2つの関数 $y = \frac{12}{x}$ と $y = ax+b$ の $y$ の変域が一致するような定数 $a, b$ の値の組 $(a, b)$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{12}{x}$ の $x$ の変域が $1 \le x \le 6$ のときの $y$ の変域を求めます。

$y = \frac{12}{x}$ は、$x > 0$ で減少関数なので、$x=1$ のとき $y$ は最大値、 $x=6$ のとき $y$ は最小値をとります。

よって、$x=1$ のとき $y = \frac{12}{1} = 12$、$x=6$ のとき $y = \frac{12}{6} = 2$ となるので、 $2 \le y \le 12$ となります。

次に、$y = ax+b$ の $x$ の変域が $1 \le x \le 6$ のときの $y$ の変域が $2 \le y \le 12$ となる場合を考えます。

(i) $a > 0$ のとき、$y = ax+b$ は増加関数なので、$x=1$ のとき $y$ は最小値、 $x=6$ のとき $y$ は最大値をとります。

よって、$a+b = 2$、$6a+b = 12$ となります。

この連立方程式を解くと、

$5a = 10$ より $a = 2$。 $a+b = 2$ に代入して $2+b = 2$ より $b = 0$。

よって、$(a, b) = (2, 0)$ となります。

(ii) $a < 0$ のとき、$y = ax+b$ は減少関数なので、$x=1$ のとき $y$ は最大値、 $x=6$ のとき $y$ は最小値をとります。

よって、$a+b = 12$、$6a+b = 2$ となります。

この連立方程式を解くと、

$5a = -10$ より $a = -2$。 $a+b = 12$ に代入して $-2+b = 12$ より $b = 14$。

よって、$(a, b) = (-2, 14)$ となります。

(iii) $a = 0$ のとき、$y = b$ となりますが、$y$ の変域が $2 \le y \le 12$ に一致しないので不適。

3. 最終的な答え

$(a, b) = (2, 0), (-2, 14)$