次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3^n$ (2) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3^n$

(2) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = a_n + 3^n$ より、階差数列の問題であると考えられます。

$n \ge 2$ のとき、

$$$$

a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k

$$$$

$a_1 = 1$ を代入すると、

$$$$

a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k

$$$$

等比数列の和の公式を用いて、

$$$$

a_n = 1 + \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = 1 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{2 + 3^n - 3}{2} = \frac{3^n - 1}{2}

$$$$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3^1 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、$a_1 = 1$ と一致するので、この式は $n=1$ のときも成り立ちます。

(2)

$a_{n+1} = a_n + 2n + 1$ より、階差数列の問題であると考えられます。

$n \ge 2$ のとき、

$$$$

a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)

$$$$

$a_1 = 0$ を代入すると、

$$$$

a_n = \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)

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a_n = 2\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = n(n-1) + n-1 = n^2 - n + n - 1 = n^2 - 1

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$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 = 0$ となり、$a_1 = 0$ と一致するので、この式は $n=1$ のときも成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{3^n - 1}{2}$

(2) $a_n = n^2 - 1$