次の漸化式を $a_{n+1} - \alpha = r(a_n - \alpha)$ の形に変形したときの $\alpha$ を求める問題です。 (1) $a_{n+1} = 4a_n - 6$ (2) $a_{n+1} = 2a_n + 1$ (3) $a_{n+1} = -2a_n + 3$

1. 問題の内容

次の漸化式を $a_{n+1} - \alpha = r(a_n - \alpha)$ の形に変形したときの $\alpha$ を求める問題です。

(1) $a_{n+1} = 4a_n - 6$

(2) $a_{n+1} = 2a_n + 1$

(3) $a_{n+1} = -2a_n + 3$

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = pa_n + q$ は、$a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)$ と変形できる。

ここで、$\alpha$ は $a_{n+1}$ と $a_n$ を $\alpha$ に置き換えた式 $\alpha = p\alpha + q$ を満たす。

(1)

$a_{n+1} = 4a_n - 6$

$\alpha = 4\alpha - 6$

$-3\alpha = -6$

$\alpha = 2$

よって、$a_{n+1} - 2 = 4(a_n - 2)$

(2)

$a_{n+1} = 2a_n + 1$

$\alpha = 2\alpha + 1$

$-\alpha = 1$

$\alpha = -1$

よって、$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$

(3)

$a_{n+1} = -2a_n + 3$

$\alpha = -2\alpha + 3$

$3\alpha = 3$

$\alpha = 1$

よって、$a_{n+1} - 1 = -2(a_n - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $a_{n+1} - 2 = 4(a_n - 2)$

(2) $a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$

(3) $a_{n+1} - 1 = -2(a_n - 1)$