10円玉が5枚、50円玉が2枚、100円玉が3枚あるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 1枚以上組み合わせて、何通りの支払い方ができるか。 (2) 1枚以上組み合わせて、何通りの金額を作ることができるか。

## 問題5

1. 問題の内容

10円玉が5枚、50円玉が2枚、100円玉が3枚あるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 1枚以上組み合わせて、何通りの支払い方ができるか。

(2) 1枚以上組み合わせて、何通りの金額を作ることができるか。

2. 解き方の手順

(1) 支払い方の総数

10円玉の使い方は0枚～5枚の6通り。

50円玉の使い方は0枚～2枚の3通り。

100円玉の使い方は0枚～3枚の4通り。

それぞれの硬貨の組み合わせの総数は、$6 \times 3 \times 4 = 72$通り。

ただし、全て0枚の場合（つまり何も支払わない場合）を除く必要があるので、

$72 - 1 = 71$通り。

(2) 金額の総数

金額が重複する場合があるので、単純な計算では求められない。

考えられる金額を全て洗い出す。

10円玉は最大で50円まで作れるので、50円玉と組み合わせて作れる金額を考える。

* 50円玉を0枚使う場合: 10円玉だけで作れる金額は、10円、20円、30円、40円、50円の5通り。

* 50円玉を1枚使う場合: 50円 + (10円玉で作れる金額) = 50円 + (0円、10円、20円、30円、40円、50円) = 50円、60円、70円、80円、90円、100円。

ただし、50円はすでにカウントされているので、60円、70円、80円、90円、100円の5通り。

* 50円玉を2枚使う場合: 100円 + (10円玉で作れる金額) = 100円 + (0円、10円、20円、30円、40円、50円) = 100円、110円、120円、130円、140円、150円。

ただし、100円はすでにカウントされているので、110円、120円、130円、140円、150円の5通り。

次に、100円玉との組み合わせを考える。

10円玉と50円玉だけで作れる金額は、0円, 10円, 20円, 30円, 40円, 50円, 60円, 70円, 80円, 90円, 100円, 110円, 120円, 130円, 140円, 150円の16通り。

* 100円玉を1枚使う場合：100円 + (10円玉と50円玉で作れる金額)。

100円, 110円, 120円, 130円, 140円, 150円, 160円, 170円, 180円, 190円, 200円, 210円, 220円, 230円, 240円, 250円。

ただし、100円, 110円, 120円, 130円, 140円, 150円はすでにカウントされているので、160円, 170円, 180円, 190円, 200円, 210円, 220円, 230円, 240円, 250円の10通り。

* 100円玉を2枚使う場合：200円 + (10円玉と50円玉で作れる金額)。

200円, 210円, 220円, 230円, 240円, 250円, 260円, 270円, 280円, 290円, 300円, 310円, 320円, 330円, 340円, 350円。

ただし、200円, 210円, 220円, 230円, 240円, 250円はすでにカウントされているので、260円, 270円, 280円, 290円, 300円, 310円, 320円, 330円, 340円, 350円の10通り。

* 100円玉を3枚使う場合：300円 + (10円玉と50円玉で作れる金額)。

300円, 310円, 320円, 330円, 340円, 350円, 360円, 370円, 380円, 390円, 400円, 410円, 420円, 430円, 440円, 450円。

ただし、300円, 310円, 320円, 330円, 340円, 350円はすでにカウントされているので、360円, 370円, 380円, 390円, 400円, 410円, 420円, 430円, 440円, 450円の10通り。

したがって、作れる金額の種類は、16 + 10 + 10 + 10 = 46通り。

3. 最終的な答え

(1) 71通り

(2) 46通り

## 問題6

1. 問題の内容

1,2,3,4,5,6の数字から異なる数字を選んで並べて整数を作る問題です。

(1) 両端の数字が奇数である4桁の整数は何個作れるか。

(2) 6桁でかつ5の倍数になる整数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 両端が奇数の4桁の整数

奇数は1, 3, 5の3つ。

千の位は奇数なので、3通りの選択肢。

一の位も奇数だが、千の位で使った数字は使えないので、2通りの選択肢。

百の位は残りの4つの数字から選べるので、4通りの選択肢。

十の位は残りの3つの数字から選べるので、3通りの選択肢。

したがって、$3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$個。

(2) 6桁で5の倍数の整数

5の倍数になるためには、一の位が5でなければならない。

一の位が5の場合、残りの5つの数字(1,2,3,4,6)を並び替えて残りの桁を埋める。

これは5つの数字の順列なので、$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通り。

3. 最終的な答え

(1) 72個

(2) 120個