与えられた3つの数学の問題を解く必要があります。 (1) 等式 $2x^2 - 4x + 3 = (x-1)(ax+b) + c$ が $x$ についての恒等式となるとき、$a$, $b$, $c$ の値を求めます。 (2) $(x-2y) + (x+2)i = 0$ を満たすような実数 $x$, $y$ の値を求めます。ただし、$i$ は虚数単位です。 (3) 1 の3乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とするとき、$\omega^3$, $\omega^{10}$, $\omega^2 + \omega + 1$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3つの数学の問題を解く必要があります。

(1) 等式 $2x^2 - 4x + 3 = (x-1)(ax+b) + c$ が $x$ についての恒等式となるとき、$a$, $b$, $c$ の値を求めます。

(2) $(x-2y) + (x+2)i = 0$ を満たすような実数 $x$, $y$ の値を求めます。ただし、$i$ は虚数単位です。

(3) 1 の3乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とするとき、$\omega^3$, $\omega^{10}$, $\omega^2 + \omega + 1$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 恒等式

$2x^2 - 4x + 3 = (x-1)(ax+b) + c = ax^2 + (b-a)x - b + c$

両辺の係数を比較すると、

$x^2$ の係数: $a = 2$

$x$ の係数: $b - a = -4$

定数項: $-b + c = 3$

$a = 2$ を $b - a = -4$ に代入すると、$b - 2 = -4$ より $b = -2$

$b = -2$ を $-b + c = 3$ に代入すると、$2 + c = 3$ より $c = 1$

(2) 複素数の相等

$(x - 2y) + (x + 2)i = 0$

実部と虚部がそれぞれ 0 になるので、

$x - 2y = 0$

$x + 2 = 0$

$x = -2$ を $x - 2y = 0$ に代入すると、$-2 - 2y = 0$ より $-2y = 2$ なので、$y = -1$

(3) 1 の3乗根

$\omega$ は $x^3 = 1$ の虚数解なので、$\omega^3 = 1$

$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = 1^3 \cdot \omega = \omega$

$\omega^3 - 1 = 0$ より $(\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0$

$\omega \ne 1$ なので、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, $b = -2$, $c = 1$

(2) $x = -2$, $y = -1$

(3) $\omega^3 = 1$, $\omega^{10} = \omega$, $\omega^2 + \omega + 1 = 0$