## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

(3) $x^4 - 7x^2 + 9$

(4) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 3$

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2. 解き方の手順

**(1) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$**

この式は、a, b, c に関して対称性があるので、どれか1つの文字について整理します。ここでは a について整理します。

$a^2(b-c) + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

$= a^2(b-c) - a(b^2 - c^2) + bc(b-c)$

$= a^2(b-c) - a(b+c)(b-c) + bc(b-c)$

$= (b-c)[a^2 - a(b+c) + bc]$

$= (b-c)(a-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

**(2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$**

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc + abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

$=(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2(b+c) + a(b^2+2bc+c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(b+c)(a+c) + abc= (a+b)(bc+ba+c^2+ca) + abc$

$= abc + ba^2 + ac^2 + ca^2 + b^2c + b^2a + bc^2 + abc + abc = a^2b+ a^2c+ b^2a+b^2c+c^2a+ c^2b+3abc$

=(a+b)(a+c)(b+c) + abc

$=(a+b)(bc+ba+c^2+ca) + abc$

$= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc + abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

$=(a+b)(b+c)(a+c)+abc = (a+b)(bc+ab+c^2+ac) + abc=abc+a^2b+ac^2+a^2c +b^2c+ab^2+bc^2+abc + abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$(a+b+c)(ab+bc+ac)$

**(3) $x^4 - 7x^2 + 9$**

$x^4 - 7x^2 + 9 = x^4 + 2x^2 + 9 - 9x^2$

$= (x^2+3)^2 - (3x)^2$

$= (x^2+3 - 3x)(x^2 + 3 + 3x)$

$= (x^2 - 3x + 3)(x^2 + 3x + 3)$

**(4) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 3$**

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 3 = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) - 3$

$t = x^2+5x$とおくと

$(t+4)(t+6) - 3 = t^2 + 10t + 24 - 3$

$= t^2 + 10t + 21$

$= (t+3)(t+7)$

$= (x^2 + 5x + 3)(x^2 + 5x + 7)$

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3. 最終的な答え

(1) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $(a+b+c)(ab+bc+ca)$

(3) $(x^2 - 3x + 3)(x^2 + 3x + 3)$

(4) $(x^2 + 5x + 3)(x^2 + 5x + 7)$