6400を $2^m \cdot 5^n$ の形で表したとき、$m$と$n$の値を求めます。次に、6400の正の約数の個数を求め、さらに6400の正の約数で5の倍数であるものの和を求めます。

1. 問題の内容

6400を $2^m \cdot 5^n$ の形で表したとき、$m$と$n$の値を求めます。次に、6400の正の約数の個数を求め、さらに6400の正の約数で5の倍数であるものの和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、6400を素因数分解します。

$6400 = 64 \cdot 100 = 2^6 \cdot 10^2 = 2^6 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^6 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^8 \cdot 5^2$

したがって、$m=8$、$n=2$です。

次に、6400の正の約数の個数を求めます。約数の個数は、素因数分解したときの指数のそれぞれに1を足したものを掛け合わせたものです。

$(8+1)(2+1) = 9 \cdot 3 = 27$

したがって、6400の正の約数の個数は27個です。

最後に、6400の正の約数で5の倍数であるものの和を求めます。5の倍数である約数の和は、5を含む場合の和なので、$(1+2+2^2+ \dots + 2^8)(5+5^2)$で計算できます。

$1+2+2^2+\dots+2^8$は初項1、公比2、項数9の等比数列の和なので、

$\frac{1(2^9-1)}{2-1} = 2^9 - 1 = 512 - 1 = 511$

$5+5^2 = 5+25 = 30$

よって、$511 \cdot 30 = 15330$

したがって、6400の正の約数で5の倍数であるものの和は15330です。

3. 最終的な答え

$m = 8$

$n = 2$

6400の正の約数の個数 = 27

6400の正の約数で5の倍数であるものの和 = 15330