全体集合 $U$ の2つの部分集合 $A$, $B$ について、$n(U) = 50$, $n(A) = 35$, $n(B) = 20$ であるとき、$n(A \cap B)$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の2つの部分集合 $A$, $B$ について、$n(U) = 50$, $n(A) = 35$, $n(B) = 20$ であるとき、$n(A \cap B)$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

$n(A \cap B)$ の最大値を求める。

$A \cap B$ は $B$ の部分集合であるから、$n(A \cap B) \le n(B)$ である。

$A \cap B$ は $A$ の部分集合であるから、$n(A \cap B) \le n(A)$ である。

よって、$n(A \cap B) \le \min(n(A), n(B)) = \min(35, 20) = 20$ となる。

$B \subset A$ のとき、$A \cap B = B$ となり、$n(A \cap B) = n(B) = 20$ となるので、最大値は20。

$n(A \cap B)$ の最小値を求める。

集合の要素数について、以下の公式が成り立つ。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

したがって、

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$

$n(A \cup B)$ は $n(U)$ 以下であるから、$n(A \cup B) \le n(U) = 50$ 。

よって、

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) \ge n(A) + n(B) - n(U)$

$n(A \cap B) \ge 35 + 20 - 50 = 5$

したがって、最小値は 5。

3. 最終的な答え

最大値: 20

最小値: 5