ある大学の入学者のうち、a大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれ$A$, $B$, $C$で表す。 $n(A) = 65$, $n(B) = 40$, $n(A \cap B) = 14$, $n(C \cap A) = 11$, $n(B \cup C) = 55$, $n(C \cup A) = 78$, $n(A \cup B \cup C) = 99$のとき、$n(C)$を求める。

1. 問題の内容

ある大学の入学者のうち、a大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれ$A$, $B$, $C$で表す。

$n(A) = 65$, $n(B) = 40$, $n(A \cap B) = 14$, $n(C \cap A) = 11$, $n(B \cup C) = 55$, $n(C \cup A) = 78$, $n(A \cup B \cup C) = 99$のとき、$n(C)$を求める。

2. 解き方の手順

包含と排除の原理より、

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

ここで、$n(A \cup B \cup C) = 99$, $n(A) = 65$, $n(B) = 40$, $n(A \cap B) = 14$, $n(C \cap A) = 11$である。

また、

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$

$55 = 40 + n(C) - n(B \cap C)$

$n(B \cap C) = n(C) - 15$

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$

$78 = n(C) + 65 - 11$

$78 = n(C) + 54$

$n(C) = 24$

よって、$n(B \cap C) = 24 - 15 = 9$

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 65 + 40 + 24 - 14 - 9 - 11 + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 95 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 4$

$n(C) = 24$

3. 最終的な答え

c大学を受験した人は24人。