10以下の自然数全体の集合を $U$ とし、$U$ の部分集合 $A = \{1, 2, 4, 7, 8\}$、$B = \{4, 6, 7, 9\}$ について、以下の集合の要素の個数を求めます。 (1) $n(A \cap B)$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(\overline{B})$ (4) $n(\overline{A \cup B})$ (5) $n(A \cap \overline{B})$ (6) $n(\overline{A} \cap B)$

1. 問題の内容

10以下の自然数全体の集合を $U$ とし、$U$ の部分集合 $A = \{1, 2, 4, 7, 8\}$、$B = \{4, 6, 7, 9\}$ について、以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $n(A \cap B)$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(\overline{B})$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

(5) $n(A \cap \overline{B})$

(6) $n(\overline{A} \cap B)$

2. 解き方の手順

まず、$U$ は10以下の自然数全体の集合なので、$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ となります。

(1) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分なので、$A \cap B = \{4, 7\}$。よって、$n(A \cap B) = 2$。

(2) $A \cup B$ は $A$ と $B$ の和集合なので、$A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$。よって、$n(A \cup B) = 7$。

(3) $\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 5, 8, 10\}$。よって、$n(\overline{B}) = 6$。

(4) $\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合なので、$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{3, 5, 10\}$。よって、$n(\overline{A \cup B}) = 3$。

(5) $A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の共通部分なので、$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 4, 7, 8\} \cap \{1, 2, 3, 5, 8, 10\} = \{1, 2, 8\}$。よって、$n(A \cap \overline{B}) = 3$。

(6) $\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$\overline{A} = U - A = \{3, 5, 6, 9, 10\}$。$\overline{A} \cap B$ は $\overline{A}$ と $B$ の共通部分なので、$\overline{A} \cap B = \{3, 5, 6, 9, 10\} \cap \{4, 6, 7, 9\} = \{6, 9\}$。よって、$n(\overline{A} \cap B) = 2$。

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B) = 2$

(2) $n(A \cup B) = 7$

(3) $n(\overline{B}) = 6$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = 3$

(5) $n(A \cap \overline{B}) = 3$

(6) $n(\overline{A} \cap B) = 2$