全体集合$U$を10以下の自然数の集合とし、$U$の部分集合$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$, $C = \{2, 3, 6, 7\}$とする。以下の集合を求める。 (1) $A \cap B \cap C$ (2) $A \cup B \cup C$ (3) $A \cap B \cap \overline{C}$ (4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$ (5) $\overline{A} \cap B \cap C$ (6) $(A \cup C) \cap B$

1. 問題の内容

全体集合$U$を10以下の自然数の集合とし、$U$の部分集合$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$, $C = \{2, 3, 6, 7\}$とする。以下の集合を求める。

(1) $A \cap B \cap C$

(2) $A \cup B \cup C$

(3) $A \cap B \cap \overline{C}$

(4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$

(5) $\overline{A} \cap B \cap C$

(6) $(A \cup C) \cap B$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B \cap C$：$A, B, C$すべての集合に共通する要素を探す。

$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$

$B = \{3, 4, 5, 6\}$

$C = \{2, 3, 6, 7\}$

共通する要素は3のみ。

(2) $A \cup B \cup C$：$A, B, C$の少なくとも1つの集合に含まれる要素をすべて集める。

$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$

$B = \{3, 4, 5, 6\}$

$C = \{2, 3, 6, 7\}$

$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(3) $A \cap B \cap \overline{C}$：まず$\overline{C}$を求める。$\overline{C}$は$U$の中で$C$に含まれない要素の集合。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$C = \{2, 3, 6, 7\}$

$\overline{C} = \{1, 4, 5, 8, 9, 10\}$

次に$A \cap B$を求める。

$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$

$B = \{3, 4, 5, 6\}$

$A \cap B = \{3, 4\}$

最後に$(A \cap B) \cap \overline{C}$を求める。

$\{3, 4\} \cap \{1, 4, 5, 8, 9, 10\} = \{4\}$

(4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$：まず$\overline{A}$を求める。

$\overline{A} = \{5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{C} = \{1, 4, 5, 8, 9, 10\}$ (上記で求めた)

$B = \{3, 4, 5, 6\}$

$\overline{A} \cap B \cap \overline{C} = \{5, 6, 7, 9, 10\} \cap \{3, 4, 5, 6\} \cap \{1, 4, 5, 8, 9, 10\} = \{5\}$

(5) $\overline{A} \cap B \cap C$：

$\overline{A} = \{5, 6, 7, 9, 10\}$

$B = \{3, 4, 5, 6\}$

$C = \{2, 3, 6, 7\}$

$\overline{A} \cap B \cap C = \{5, 6, 7, 9, 10\} \cap \{3, 4, 5, 6\} \cap \{2, 3, 6, 7\} = \{6\}$

(6) $(A \cup C) \cap B$：

$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$

$C = \{2, 3, 6, 7\}$

$A \cup C = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8\}$

$B = \{3, 4, 5, 6\}$

$(A \cup C) \cap B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8\} \cap \{3, 4, 5, 6\} = \{3, 4, 6\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B \cap C = \{3\}$

(2) $A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(3) $A \cap B \cap \overline{C} = \{4\}$

(4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C} = \{5\}$

(5) $\overline{A} \cap B \cap C = \{6\}$

(6) $(A \cup C) \cap B = \{3, 4, 6\}$